一天一道简答题：模拟CMOS

加粗为考过的题目

第一章：绪论

1. 随着集成电路工艺发展，器件宽度下降，有哪些因素对模拟IC设计不利？

   答案

   电源电压下降、阵列器件失配更严重、MOS短沟道效应显著

2. 列举出三种模拟IC产品。

   答案

   电源管理芯片、模数转换（ADC）芯片、数模转换（DAC）芯片、锁相环（PLL）芯片

3. 解释More Moore和More than Moore。

   答案

   More Moore：进行结构优化和工艺微缩，继续缩小器件尺寸，延续摩尔定律

   More than Moore：在现有的基础上，不缩小器件尺寸，但整合进更多的功能，实现更复杂的系统

   数字CMOS集成电路复习笔记：第一篇

4. 深N阱工艺是什么？有什么优缺点？

   答案

   深N阱工艺：在P型衬底上，通过掺杂形成一个深N阱然后再形成一个P阱，制作NMOS，可以实现器件隔离的作用，因为其衬底独立。

   深N阱增加了制造成本和芯片面积，但使得各NMOS衬底可以相互隔离，并且数字模块与模拟模块也可以隔离，减小串扰。

第二章：MOSFET概述

1. MOS管有哪些工作区？对于NMOS来说，不同的工作区各有什么独特的应用？

   答案

   关断区、饱和区、线性区（三极管区）。其中，当 V_DS<<2(V_GS-V_TH) 时，为深线性区。

   工作在饱和区的NMOS可作为压控电流源：$I_D=\dfrac 1 2 \mu_nC_{ox}\dfrac W L (V_{GS}-V_{TH})^2$

   工作在深线性区的NMOS可作为压控电阻：$R_{on}=\dfrac{V_{DS}}{I_D}=\dfrac{1}{\mu_nC_{ox}\frac W L (V_{GS}-V_{TH})}$

2. 什么是反型？强反型和弱反型的区别是什么？强反型与饱和区的关系是什么？

   答案

   反型即源漏之间的栅氧化层下形成载流子沟道的过程。强弱反型取决于导电沟道是否形成。可认为 V_GS-V_TH>0 时沟道强反型。

   强反型区时，器件可能线性也可能饱和。弱反型区时，有亚阈值电流的存在。

3. 对于MOS管，有哪些非理想效应？对于短沟道MOS管又有哪些非理想效应？

   答案

   MOS管的非理想效应：

   • 沟道长度调制效应（CLM）：V_DS增大，饱和区电流上升而非不变
   • 亚阈值电流：V_GS-V_TH<0 时，存在弱反型层，并有极小的源漏电流
   • 体效应（Body Effect）：V_SB不为0时，阈值电压随着V_SB增大而增大

   短沟道的非理想效应：

   • 漏致势垒降低（DIBL）：漏压使得沟道源端的势垒降低

4. 什么是小信号模型？小信号模型中的r_o可用来表示哪些非理想效应带来的影响？如何增大r_o？

   答案

   小信号模型是MOS管在给定偏置条件下的线性近似。

   r_o可表示沟道长度调制效应对I_D的影响以及漏致势垒降低对I_D的影响。

   为了增大r_o，可以减小器件的宽长比，以减小电流；或是在宽长比不变的情况下放大器件，以降低沟道长度调制效应带来的影响。

   速度饱和效应：短沟道器件的非理想特性，会使得有效电流大大降低123

第三章：单级放大器

1. 设计放大器时候需要考虑的八个均衡点是什么？

   答案

   噪声、线性度、增益、电源、摆幅、速度、输入输出阻抗、电源损耗。

   请看VCR。

   

2. 对于二极管连接型、PMOS为负载的放大器，如果增大PMOS的宽长比，定性分析放大器的特性变化。

   答案

   因$A_V=-\dfrac{g_{mN}}{g_{mP}}$，当I_D不变时，宽长比增大，跨导增大，因此分母增大，饱和区增益减小，但V_OD减小，即$|V_{GS,P}|$减小，因此输出点直流电压更高，使得输入点摆幅增大、输出点摆幅减小。

3. 如下图(a)与(b)，一个NMOS与一个PMOS分别接成Class-AB型放大器与电流源负载型放大器，试定性分析两个结构的增益、摆幅、电源抑制比。

   
   答案

   对于图(a)，可将NMOS与PMOS等效为同一个晶体管，跨导为两个管子相加，电阻为两个并联。

   则增益为$A_v=-(g_{m1}+g_{m2})\sdot (r_{o1}\| r_{o2})$，

   可实现轨对轨的输出摆幅。

   对于图(b)，

   $A_v=-g_{m1}\sdot (r_{o1}\| r_{o2})$，增益略小于Class-AB。

   输出点最大可比PMOS栅极高一个VTP，最低比Vin低一个VTN。

   对于电源抑制比，这里(b)图的V_b不能单纯的认为是单管，而应当看成复杂的电流镜偏置网络产生的，因此电流源负载的共源极放大器电源抑制比远大于Class-AB型。

   对于Class-AB型的电源抑制比，从V_DD看进去，易知这是一个共栅极放大器，因此$PSRR=\dfrac{1+g_{m2}r_{o2}}{r_{o1}+r_{o2}}\sdot r_{o1}$

   对于输入摆幅，Class-AB型小于电流源负载型。

4. 何为电流复用？什么结构的单级放大器采用了这种技术？

   答案

   电流复用是将放大器结构内仅用作电流源的器件利用起来处理小信号电流的技术。

   Class-AB放大器在PMOS电流源负载的共源极基础上进行修改，将原本的PMOS接成有源负载，因此可以对小信号电流进行处理。

5. 对于两个NMOS组成的源随器，在考虑体效应的情况下，分析其输出特性。

   答案

   由于上面的NMOS存在体效应，对于大信号，随着Vin的增大，Vout会跟随输入增大，但因为体效应的存在，阈值电压增大，若保持过驱动电压不变，则$V_{GS}-V_{TH'}$不变，即$V_{GS}$增大，电平移位值增大；对于小信号，增益为$\dfrac{g_m}{g_m+g_{mb}}<1$。

6. 下图为无体效应影响的PMOS源随器。试分析移位值随着V_in的变化。

   
   答案

   Vout比Vin高出了M1管阈值电压的绝对值。随着Vin上升，Vout也开始上升。

   对于M2来说：V_SD2下降，因此沟道长度调制效应造成的影响减小，而M2的过驱动电压不变，因此M2电流下降，使得M1电流下降。

   对于M1来说：

   $$I_{D1}=\frac{1}{2}\mu_pC_{ox}\frac{W}{L}\big(\big|V_{in}-V_{out}\big|-\big|V_{Tp}\big|\big)^2\sdot \big(1+\lambda \big|V_{DS1}\big|\big)$$

   显然$\lambda |V_{DS1}|$值增大，而总电流减小，即过驱动电压减小，因此$|V_{in}-V_{out}|$减小，即电平移位值随着Vin增加而降低。

7. 简述折叠型共源共栅相比于共源共栅结构的优点，并写出下面结构的输出电阻近似表达式。

   
   答案

   共源共栅极放大器的输入电压受到共源共栅的偏置电压限制，而折叠型共源共栅采用与共源共栅器件种类不同的器件作为输入管，以此增大输入摆幅。

   $$R_{out}=g_{m2}r_{o2}\sdot (r_{o1}\|r_{o3})$$

8. 若要放大一个光电二极管（可等效为光控电流源）的输出信号，应该选择什么结构的放大器？说明理由。

   答案

   应当使用共栅极。

   因为共源极与共源共栅极均有较大的输入阻抗，且均为电压输入，而共栅极有着较低的输入阻抗，且可以处理电流小信号。

9. 源随器常级联于放大器输出端后，如下图。请说明级联的优点。

   
   答案

   源随器可用作电压缓冲器，以此驱动较小的负载电阻R_L。

   通常的放大器都是OTA（输出阻抗较大），级联源随器后可转换为Opamp（输出阻抗较小）！

10. 如下图使用一个额外的电流源帮助M2分担一部分电流，试分析该结构的优点。如果I_s=0.75I_D，计算该结构的放大倍数。

    
    答案

    通过额外的电流源分担二极管负载的电流，使得通过PMOS的电流减小，从而减小其跨导，增大放大倍数。

    $$\begin{aligned} A_v & \approx - \frac{g_{m1}}{g_{m2}}\\ &=-\sqrt{\dfrac{4\mu_n(W/L)_1}{\mu_p(W/L)_2}} \end{aligned}$$

11. 某学生对问题10中的图片以及放大倍数产生疑惑。该结构满足的电流公式如下：

    $$\mu_n\Big(\frac{W}{L}\Big)_1(V_{in}-V_{TH1})^2 \approx 4\mu_p\Big(\frac{W}{L}\Big)_2\big(V_{DD}-V_{out}-\big|V_{TH2}\big|\big)^2$$

    对其两边进行微分也可以得到电压增益：

    $${\dfrac{\partial V_{out}}{\partial V_{in}}}=-\dfrac{g_{m1}}{4g_{m2}}=\dfrac{A_v}{4}$$

    为什么结果不对？请你解释此现象的原因。

    答案

    因为该电流公式在某一个特定的V_in值才满足。随着V_in的变化，I_D1会偏离4I_D2，因此无法对电流公式左右求偏导来计算放大倍数。

12. 如下图的放大器，为了使得输入直流电平可以接近V_DD，试求出M1工作在饱和区时M2与M3的栅源电压满足的关系。

    
    答案

    当V_in=V_DD时，因为源随器的电压移位作用，V_G1=V_DD-V_GS3。因此，若M1工作在饱和区：

    $$\begin{aligned} V_{DD}-V_{GS3}-V_{TH1}&\leqslant V_{DD}-\big|V_{GS2}\big|\\ V_{GS3}+V_{TH1}&\geqslant \big|V_{GS2}\big| \end{aligned}$$

13. 如下图为劣质的共源共栅结构，分析其和传统共源共栅结构的区别。

    现代CMOS工艺中，晶体管阈值电压可以不相等。在M1的过驱动电压小于100mV的情况下，为使得该结构工作为正常的共源共栅，M1与M2的阈值电压满足的关系是什么？

    
    答案

    该结构省去了共源共栅所需要的偏置电压。

    因M1、M2均导通，$V_{DS2}=V_{GS2}-V_{GS1}\lt V_{GS2}-V_{TH2}$，则M2必定工作在线性区。

    若$V_{GS1}-V_{TH1}\lt 100mV$，因

    $$\begin{aligned} V_{GS2}-V_{TH2}&\lt V_{DS2}=V_{GS2}-V_{GS1}\\ V_{GS2}-V_{GS1}&\gt V_{GS2}-V_{TH1}-100mV \end{aligned}$$

    只要令$V_{GS2}-V_{TH1}-100mV\gt V_{GS2}-V_{TH2}$即可，因此$V_{TH2}-V_{TH1}\gt 100mV$。取阈值电压差值为150mV即可满足。

14. 下图给出了一个芯片上2只晶体管的局部截面图，其中金属连接以抽象形式给出，打圆点处表示有连接。请根据器件结构和金属连接画出该电路的电路图，图中应包括器件衬底的连接。给出该电路的名称。

    
    答案

    这是一个源随器。

    

15. 写出理想放大器的三个特点。

    答案

    • 阻抗方面：无穷大的输入阻抗与近似为0的输出阻抗
    • 放大倍数方面：线性度在任何摆幅和频率下都能满足
    • 驱动能力方面：有着无穷大的驱动能力

第四章：差动放大器

1. 差动电路相对于单端电路，有什么优点与缺点？

   答案

   • 优点：
     • 输出摆幅大
     • 可以有效抑制共模干扰和噪声
     • 消除偶次谐波
   • 缺点：
     • 差动噪声输出为单端的两倍
     • 面积和功耗为单端的两倍
     • 全差动需要共模反馈确定输出直流工作点

   差动放大器的输出/输入关系式是奇函数，它的泰勒展开式偶次项系数为0，因此输入一个正弦波给放大器时，偶次谐波项为0。

2. 对于电阻负载型的差动对，差动大信号输入范围是多少？用输入管的过驱动电压表示。

   给出两种增大差动对的差动输入范围的方法。

   答案

   $$\Big|V_{in,diff}\Big|\lt \sqrt 2 V_{OD}$$

   减小输入管宽长比、增大尾电流源电流。

3. 下图是带源极负反馈的差动对。给出第一种差动结构的大信号输入范围。

   第二种结构相比于第一种有什么优点？

   
   答案

   $$\Big|V_{in,diff}\Big|\lt \sqrt 2 V_{OD}+I_{SS}R_S$$

   第二种结构使用两个尾电流源，当电路处于平衡状态时R_s上无电流，因此没有电压余度的损失。

4. 下图的全差动电路在实际使用时有什么缺点？

   实际的全差动放大器中会加入尾电流源，其作用是什么？

   
   答案

   此差动对在共模输入电平V_in,CM变化时，偏置电流也会产生变化，从而改变晶体管跨导与共模输出电平V_out,CM。同时，过低或过高的共模输入电平还会导致输出端出现削波的现象。

   限制各管的偏置电流，使电流不随共模电平变化而变化，从而稳定放大器增益。

5. 全差动放大器的A_DM与A_CM-DM是什么？写出中文释义，并给出CMRR的定义及表达式。

   答案

   • A_DM：差模增益
   • A_CM-DM：共模转差模增益
   • CMRR：共模抑制比

   $$CMRR=\Bigg|\frac{A_{DM}}{A_{CM-DM}}\Bigg|$$

6. 对于下图的差动对，分别写出当电阻间失配为$\Delta R_D$与晶体管跨导失配为$\Delta g_m$时的共模抑制比表达式。

   
   答案

   $$\begin{aligned} A_{CM-DM,\Delta R} &= \frac{R_D}{\Delta R_D}(1+2g_mR_{SS})\\ A_{CM-DM,\Delta g_m} &= \frac{g_m}{\Delta g_m}(1+2g_mR_{SS})\\ \end{aligned}$$

7. 考虑理想尾电流源的差动对，若输入管的体效应失配，分析其共模抑制比。

   
   答案

   即使尾电流源为理想电流源，共模抑制比也不会为无穷大。

   当共模输入电平变化时，P点电压会随之变化，进而改变两个管子的V_BS。若$g_{mb1} \neq g_{mb2}$，则流过的电流变化量不等，从而共模输入变化在输出端产生差动的变化。

8. 下图为吉尔伯特单元。写出当V_in较大且为正时电路导通的晶体管，并简要说明为什么吉尔伯特单元可用作电压乘法器。

   
   答案

   M1、M3、M5、M6导通。

   因为$V_{cont}=V_{cont1}-V_{cont2}$，后两者分别控制两对对管的尾电流源，则$V_{out}=V_{in}\sdot f(V_{cont})$。

   对$f(V_{cont})$进行泰勒展开并保留一阶系数，就可以得到$V_{out}=\alpha \sdot V_{in} \sdot V_{cont}$。

9. 写出输入直流存在失衡时的差动放大器的差动跨导表达式。

   答案

   $$G_m=\frac{1}{2} \mu_n C_{ox} \frac{W}{L} \dfrac{\frac{4I_{SS}}{\mu_n C_{ox} W/L} - 2V^2_{in,diff}}{\sqrt{\frac{4I_{SS}}{\mu_n C_{ox} W/L} - V^2_{in,diff}}}$$

10. 写出提高差动放大器共模抑制比的方法。

    答案

    • 保持尾管宽长比不变，增大尾管栅长L
    • 增大输入对管的跨导
    • 减小输入对管的失配
    • 减小负载失配

第五章：电流镜与偏置技术

1. 简要叙述下图(b)的偏置电流产生方式相对于(a)的优点与缺点。

   
   答案

   • 优点：
     • 输出阻抗大
     • 不易受到电压波动影响
   • 缺点：
     • 占用面积大
     • 输出电压的摆幅较小

2. 写出下图共源共栅电流镜与低压共源共栅电流镜的电压输出摆幅。

   相比于简单电流镜，为什么共源共栅电流镜能更精准地“拷贝”电流？

   [{"url":"https://webp.esing.dev/img/image-20241016123400212_20241016_1234.png","alt":"共源共栅电流镜"},{"url":"https://webp.esing.dev/img/image-20241016123423917_20241016_1235.png","alt":"低压共源共栅电流镜"}]

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   答案

   $$\begin{aligned} V^{_{cascode}}_{P,min} &= V_{GS1}+V_{OD0}\\ &= 2V_{OD}+V_{TH}\\ \\ V^{_{low\_v}}_{P,min} &= V_b-V_{TH}\geqslant V_{OD1}+V_{GS2}-V_{TH}\\ &=2V_{OD} \end{aligned}$$

   共源共栅结构能屏蔽输出电压波动。

3. 写出五管OTA的CMRR表达式。能否计算五管OTA的A_CM-DM？若能，写出表达式；若不能，说明理由。

   答案

   $$\begin{aligned} CMRR&=\dfrac{A_{DM}}{A_{CM}}\\ &=g_{m3,4}(r_{o1,2}\|r_{o3.4})(1+2g_{m1,2}R_{SS}) \end{aligned}$$

   不能，因为差动转单端输出的结构不存在A_CM-DM。

4. 五管OTA相对于电流源负载的全差动放大器，有哪些优点和缺点？各写出三点。

   答案

   • 优点：
     • 输出工作点稳定，无需共模反馈
     • 偏置仅需要一个简单电流镜
     • 版图面积小
   • 缺点：
     • 抗共模干扰能力更弱
     • 电源抑制比更低
     • 低电压下更难工作，因二极管连接型消耗更大的电压余度

5. 下图是针对共源极的偏置网络设置，请分析第二种结构相较于第一种的优点以及R_B的要求。

   在实际生产中如何制造R_B？

   
   答案

   第二种采用电容耦合的方式输入V_in，使用电阻来提供M1栅极所需要的V_B，此时X节点的交流电压为V_in，直流电压为V_B，避免了V_in与V_B发生冲突。

   R_B应当尽可能大，以减小电流。实际生产中使用一个偏置在深线性区的MOS管来作为R_B。

6. 下图为完整的共源极放大器偏置网络，请分析M_B、M_C和M_R的作用。

   
   答案

   • M_B：二极管连接型，产生偏置电压
   • M_C：产生一个电压差，使得M_R始终处于深线性区
   • M_R：工作在深线性区，充当大电阻

7. 下图为共源极与源随器的串联，试分析第二种结构相对于第一种的优点。

   
   答案

   第一种结构中，M3漏极电压最小为$V_{OD2}+V_{GS1}$，使得R_D两端的电压降极小，导致共源极的偏置电流小，增益降低。

   第二种结构中，采用C_C进行电容耦合，以分隔直流偏置与交流信号，可以让源随器偏置独立，并让共源极的增益最大化。

8. 请说明为何工业生产中设计晶体管尺寸时更喜欢使用右边而非左边的方案。

   
   答案

   因为工艺中晶体管的栅极存在拐角，导致晶体管的实际宽度不会伴随版图上的W精确变化。因此，使用单元晶体管串并联的方式来消除工艺造成的误差。

第六章：放大器频率特性

1. 下图为用密勒定理实现的电容放大器。请写出在X点与Y点等效的电容，并分析此结构的缺点。

   
   答案

   在X点：$Z_X=\dfrac{1}{sC_F\sdot \big(1-(-A)\big)}=\dfrac{1}{sC_F\sdot (1+A)}$

   在Y点：$Z_Y=\dfrac{1}{sC_F\sdot \big(1-(-A)^{-1}\big)}\approx\dfrac{1}{sC_F}$

   Y点的摆幅也被放大了A倍，要求放大器能处理如此大的摆幅。此外，该结构有较大的功耗开销。

2. 密勒定理的局限性在哪？举出两点。 哪哪都局限啊

   答案

   • 使用密勒定理近似后无法计算出电路中的零点；
   • 密勒定理对主极点的计算结果较为精确，对次极点的计算有着较大的误差。

3. 下图为考虑寄生电容与负载电容的共源级放大器。使用密勒定理近似的情况下，写出R_s相对较小与R_s相对非常大时的传递函数，并解释该现象。

   实际的传递函数中有一个零点，该零点是多少？在哪一侧平面？

   
   答案

   当R_s相对较小时，输入端极点和输出端极点均使用米勒等效即可；因此：

   $$\begin{aligned} \omega_{p,in}&=\frac{1}{R_S\left[C_{GS}+(1+g_mR_D)C_{GD}\right]}\\ \omega_{p,out}&=\frac{1}{\left(C_{GD}+C_{DB}\right)R_D} \end{aligned}$$

   对于R_s较大的情况，输入端看到的电容与电阻不变，依旧使用米勒等效，但输出端看到的阻抗改变。当R_s足够大时，可认为其所在的支路为断路，因此C_GD与C_GS串联，分压给M1使其产生电流。因此，从M1的漏极向左边看去，分压系数为$\frac{C_{GD}}{C_{GD}+C_{GS}}$，则等效阻抗为$Z_X=\frac{C_{GD}+C_{GS}}{C_{GD}}\cdot\frac{1}{g_{m1}}$，此为阻性器件，因此输出端看到电阻还要并上R_D。对于电容，是C_GD与C_GS串联后再并上C_DB。因此：

   $$\begin{aligned} \omega_{p,in}^{'}&=\frac{1}{R_S\left[C_{GS}+(1+g_mR_D)C_{GD}\right]}\\ \omega_{p,out}^{'}&=\frac{1}{\left[R_{D} \Bigg\| (\dfrac{C_{GD}+C_{GS}}{C_{GD}}\sdot\dfrac{1}{g_{m1}})\right](C_{eq}+C_{DB})} \end{aligned}$$

   $\omega_z=\dfrac{g_m}{C_{GD}}$，在右半平面。

4. 在电流镜中，什么是镜像极点？使用高频时的电流流动路径来解释为什么零点的频率是镜像极点的二倍。

   答案

   镜像极点是电流镜结构中栅极因为存在电容而产生的极点。

   

   对于此电流镜，在高频状态下，M3的电流会全部经过C_E到地，因此V_out输出仅有右边支路起作用，零点频率为极点频率两倍。

5. 分析下面低压共源共栅电流镜的镜像极点频率。

   
   答案

   X点向上看就是$1/g_{m7}$，因为M5接在电路中不受影响，M7就是一个二极管连接型。从X点向下看，又是一个共源共栅结构阻抗，为$g_{m3}r_{o3}r_{o1}$。因此X点处阻抗应为并联，约等于$1/g_{m7}$。

   则镜像极点频率$\omega_X=\dfrac{1}{R_XC_X}=\dfrac{g_{m7}}{C_1}$。

6. 下图为共源共栅极放大器的频率响应电路图。写出A点到X点的增益。

   若假设M1与M2的跨导相同，且不考虑M2的体效应影响，写出X点处极点的表达式。

   
   答案

   X点向上看是MOS管的源极，因此阻抗约为跨导的倒数：

   $$A_{v,A2X} = -g_{m1}\sdot \dfrac{1}{g_{m2}+g_{mb2}} \approx -\dfrac{g_{m1}}{g_{m2}}$$

   若假设M1与M2的跨导相同，且不考虑M2的体效应影响，则$A_{v,A2X} =-1$。由密勒定理易知：

   $$\begin{aligned} \omega_{p,X} &= \dfrac{g_{m2}}{\Big(1-(-1)\Big)\sdot C_{GD1}+C_{DB1}+C_{SB2}+C_{GS2}}\\&= \dfrac{g_{m2}}{2C_{GD1}+C_{DB1}+C_{SB2}+C_{GS2}} \end{aligned}$$

7. 电流源负载的全差动放大器和五管OTA相比有什么优点和缺点？

   答案

   • 优点：
     • 输出摆幅更大
     • 电源抑制比更高
     • 可以消除共模噪声与干扰
     • 更稳定，因五管OTA存在镜像极点，而电流源负载全差动可以近似认为单级放大器
   • 缺点：
     • 需要额外的偏置网络，版图面积大
     • 功耗更大
     • 需要共模反馈来确定输出直流工作点，但是五管OTA不需要

8. 写出当次极点频率远大于主极点时的传递函数简化。假定$|\omega_{p1}| \ll |\omega_{p2}|$。

   答案

   $$D=\left(1+\frac{s}{\omega_{p1}}\right)\left(1+\frac{s}{\omega_{p2}}\right)\approx\frac{s^2}{\omega_{p1}\omega_{p2}}+\frac{s}{\omega_{p1}}+1$$

第七章：噪声

1. 如下图的a与b，一个NMOS与一个PMOS分别接成Class-AB型放大器与电流源负载型放大器，试分析两个结构的输出参考热噪声与输入参考热噪声。

   
   答案

   对于两种结构，输出参考热噪声是相同的，均为$4kT\gamma(g_{m1}+g_{m2})R_{out}^2$。

   对于输入参考热噪声，因为两个结构的增益不同，因此：

   $$\begin{aligned} \overline{V_{n,in,a}^2} &= 4kT\gamma\left(\dfrac{1}{g_{m1}+g_{m2}}\right) \\ \overline{V_{n,in,b}^2} &= 4kT\gamma\left(\dfrac{1}{g_{m1}}+\dfrac{g_{m2}}{g_{m1}^2}\right) \\ \end{aligned}$$

2. 用一个NMOS管和一个电阻组成一个共源放大器，电阻和NMOS管对输出端分别贡献了哪些噪声成分？

   若不考虑电容的影响，各噪声成分随频率是如何变化的？

   答案

   • 电阻：电阻热噪声，不随频率变化
   • NMOS管：
     • 沟道热噪声，不随频率变化
     • 栅极电阻欧姆热噪声，不随频率变化
     • 闪烁噪声，噪声大小与频率成反比

   栅电阻热噪声谱常会被漏掉！$\overline{V_{n~RG}^2}=\dfrac{4kTR_{G}}{3}$。

   证明过程见拉扎维书后习题7.3。

3. 在电流镜偏置中常使用下面的结构：接入一个电阻与电容。请分析这样做的用处。

   
   答案

   为了减小M_REF对I_D1噪声的贡献。

   插入C_B可在某一频率之内将噪声影响降低，插入R_B可避免C_B过大。

   $$\overline{I_{n,out}^2}=\left[\frac{g_{m,REF}^2}{(1+g_{m,REF}R_B)^2\sdot C_B^2\omega^2+g_{m,REF}^2}(\overline{V_{n,REF}^2}+\overline{V_{n,RB}^2})+\overline{V_{n1}^2}\right]g_{m1}^2$$

4. 对于共源极放大器与共栅极放大器的输入参考噪声，分析时有什么区别？为什么？

   答案

   共源极放大器可以忽略输入参考噪声电流，但是共栅极不能忽略，因为共栅极的输入阻抗极小。

5. 对于五管OTA，为什么从两个输入管的源极看进去的阻抗不同，但尾噪声电流仍会平均分配？

   答案

   在晶体管的源极注入信号可以等效为在晶体管的栅极注入信号。共模情况下，两边节点的变化量必然一样，否则无法满足电流解的方程，两路电流会产生较大的偏差，与五管单元的分析矛盾。

6. 对于共源极放大器，如果想将噪声电压的功率减半，且原来的电压增益与输出摆幅不变，应当如何调整电流、晶体管尺寸与负载电阻的大小？带来的问题是什么？

   答案

   将电流加倍、晶体管宽长比增大一倍、负载电阻变为原来一半。

   版图面积会增大一倍，且功耗也会加倍。

7. 写出噪声平均功率在时域和频域的表达式。

   答案

   $$\begin{aligned} P_N &= \lim_{T \to \infin} \dfrac{1}{T}\int_{-\tfrac{T}{2}}^{\tfrac{T}{2}} x^2(t) \text d t \\ P_N &= \int_0^{+\infin} S_X(f)\text d f \end{aligned}$$

8. 为什么电容与电感不贡献噪声？

   答案

   噪声通常是载流子随机运动做功引起的。电容中的介质等缺陷虽然也会引起随机运动，但是因为电容没有实数阻抗，没有有功成分，因此不产生热噪声，电感也是如此。

   说白了就是电容和电感自身不消耗能量。

9. 为什么MOSFET的闪烁噪声比BJT更为严重？

   为什么PMOS的闪烁噪声比NMOS小？从本质上说明。

   答案

   对于MOSFET和BJT，MOSFET为表面器件，而闪烁噪声由界面产生，因此MOSFET的闪烁噪声比BJT更为严重。频率越低，载流子越容易被表面捕获。

   对于PMOS和NMOS，因为PMOS使用空穴进行导电，沟道距离硅-氧化物界面比NMOS更远，而闪烁噪声由界面的悬挂键产生，载流子不容易运动到界面被捕获，因此闪烁噪声更小。

   PMOS为埋沟 MyGO!!!!! 器件，受到界面影响小。

   “PMOS阈值电压本来比NMOS的高，为了调节PMOS的阈值电压，会把PMOS的沟道表面重掺杂，也就是在平带电压之下其实S、D之间是由P掺杂导通的，但是在栅上没有电压时由于接触电势和氧化层中的电荷沟道是不导通的，在栅上加负电压时，沟道会先在沟道下面掺杂的P型和衬底的PN结处形成，而不是在氧化层和衬底表面处形成。由于1/f是氧化层和硅界面因为悬空键引起的，所以埋沟的PMOS（并不是所有的PMOS都是埋沟）闪烁噪声系数小。”

   —— PMOS的1/f噪声比NMOS低是因为PMOS是埋沟器件，为什么？ - 知乎

10. 有同学认为，闪烁噪声与频率成反比，因此频率越低，闪烁噪声越大，频率接近0时闪烁噪声会变成无穷大。分析他的说法是否正确。

    答案

    不正确。在极低频下闪烁噪声的变化速度极慢，而无穷大的闪烁噪声表明非常慢的噪声成分会随机呈现很大的功率水平。

11. 什么是转角噪声频率？写出其表达式，并说明转角噪声频率越大越好还是越小越好。

    答案

    转角噪声指闪烁噪声等于热噪声的频率。

    $f_c=\dfrac{K}{\gamma C_{ox}WL}g_m\dfrac 1 {4kT}$

    转角噪声频率越大越好，因其表明同一热噪声下，闪烁噪声等于热噪声的值。因此，若是在更低的频率下才到达热噪声，说明高频下闪烁噪声更小。

12. 分析下图M3、M4与M5对噪声的贡献并等效为输入端噪声。

    
    答案

    1. 显然，共栅极管子M2不贡献噪声。

    2. 对于M4，因其直接接在输出端，贡献噪声为$\dfrac{4kT\gamma g_{m4} \times R_{out}^{2}}{g_{m1}^{2}R_{out}^2}=\dfrac{4kT\gamma g_{m4}}{g_{m1}^2}$。

    3. 对于M3、M5，不能将Y点噪声等效到X点，而应当求出M3与M5对输出端噪声贡献后除以增益。分析时，应当使用噪声电流源，求出Y点的电流变化对输出端的电压影响，即等效阻抗。

       使用小信号电路可算出$\dfrac{V_{out}}{I_{in,Y}}\approx -\dfrac{r_{o5}}{g_{m3}r_{o1}}$。

    4. 为M3、M5并上等效噪声电流源，随后算出其对输出端电压的影响。

    5. $\overline{V_{n,in,tot}^{2}}=4kT\gamma(\dfrac{1}{g_{m1}}+\dfrac{g_{m4}}{g_{m1}^{2}}+\dfrac{1/g_{m3}+g_{m5}/g_{m3}^{2}}{g_{m1}^{2}r_{o1}^{2}})$

13. 有同学认为，MOS管的沟道电流表达式为$\overline{I_n^2} = 4kT\gamma g_m$，因此减小MOS管的跨导可以减小噪声电流，从而提升电路的SNR。他的说法是否正确？为什么？

    答案

    不正确。因为$\overline{V_n^2} = 4kT\gamma \frac{1}{g_m}$，对于跨导，减小跨导会增大输出噪声电压谱。

    同时，因为输出噪声都要等效到输入端进行对比，因此$\overline{V_{n,in}^2}$与跨导成反比。

14. 若两级放大器级联，输入信号功率谱为P_sig，噪声谱为P₀，第一级、第二级放大器的放大倍数分别为A₁、A₂，噪声谱分别为P₁、P₂，现将两个放大器级联，请写出输出端的信噪比表达式。

    答案

    $$\begin{aligned} SNR_{in}&= \dfrac{P_{sig}}{P_0}\\ SNR_{1} &= \dfrac{P_{sig}\cdot A_1^2}{P_0\cdot A_1^2+P_1}\\ SNR_{2} &= \dfrac{P_{sig}\cdot A_1^2 \cdot A_2^2}{P_0\cdot A_1^2\cdot A_2^2+P_1\cdot A_2^2+P_2}\\ \end{aligned}$$

15. 若噪声谱为为$S_X(f)$的噪声叠加在传输函数为$H(s)$的LTI系统上，写出输出谱的表达式。

    答案

    $$S_Y(f)=S_X(f)\sdot {\big| H(f) \big|}^2$$

第八章：反馈

1. 反馈网络为什么采用无源器件构成？

   答案

   无源器件可以采用比例关系来构成稳定的反馈网络，且不大受电压波动与噪声等影响；有源器件需要固定偏置，且极易受到PVT影响。

2. 对于下面接成单位增益反馈的五管OTA，写出其开环增益、环路增益、闭环增益和β。

   
   答案

   $$\begin{aligned} A_{open}&=g_{m1}(r_{o2} \| r_{o4})\\ A_{loop}&=\frac{C_1}{C_1+C_2}g_{m1}(r_{o2} \| r_{o4})\\ \\ A_{CL}&=\dfrac{A_{open}}{1+A_{loop}}=\dfrac{g_{m1}(r_{o2} \| r_{o4})}{1+\tfrac{C_1}{C_1+C_2}g_{m1}(r_{o2} \| r_{o4})}\\ &=\dfrac{C_1+C_2}{C_1}\dfrac{\tfrac{C_1}{C_1+C_2}g_{m1}(r_{o2} \| r_{o4})}{1+\tfrac{C_1}{C_1+C_2}g_{m1}(r_{o2} \| r_{o4})}\\ \beta&=\tfrac{C_1}{C_1+C_2} \end{aligned}$$

3. 对于下面输入端接成反馈的五管OTA，写出其开环增益、环路增益、闭环增益和β。

   
   答案

   为什么前面会有一个系数？这是否和$A_{CL} = \frac{1}{\beta} \cdot \frac{A\beta}{1 + A\beta}$冲突？

   并不。在输入端，因为电容分压的影响，信号会先经历一个衰减，衰减系数就是$\frac{C_2}{C_1+C_2}$。

   $$ \begin{aligned} A_{open}&=\textcolor{Red}{\dfrac{C_2}{C_1+C_2}} g_{m1}(r_{o2} \| r_{o4})\\ A_{loop}&=\frac{C_1}{C_1+C_2}g_{m1}(r_{o2} \| r_{o4})\\ \\ A_{CL}&=\dfrac{A_{open}}{1+A_{loop}}=\dfrac{\textcolor{Red}{\frac{C_2}{C_1+C_2}}g_{m1}(r_{o2} \| r_{o4})}{1+\tfrac{C_1}{C_1+C_2}g_{m1}(r_{o2} \| r_{o4})}\\ &=\dfrac{C_2}{C_1}\dfrac{\tfrac{C_1}{C_1+C_2}g_{m1}(r_{o2} \| r_{o4})}{1+\tfrac{C_1}{C_1+C_2}g_{m1}(r_{o2} \| r_{o4})}\\ \beta&=\tfrac{C_2}{C_1+C_2} \end{aligned} $$

4. 对于VCF反馈电路，若开环增益为A₀，反馈系数为β，写出输入电阻与输出电阻的表达式。

   答案

   $$\begin{aligned} R_{in,CL}&=\dfrac{1}{1+\beta A_0}R_{in}\\ R_{out,CL}&=\dfrac{1}{1+\beta A_0}R_{out} \end{aligned}$$

5. 对于CCF反馈电路，若开环增益为A₀，反馈系数为β，写出输入电阻与输出电阻的表达式。

   答案

   $$\begin{aligned} R_{in,CL}&=\dfrac{1}{1+\beta A_0}R_{in}\\ R_{out,CL}&={1+\beta A_0}R_{out} \end{aligned}$$

   • 对于电压输入，输入阻抗越大越好，因此反馈会增大输入阻抗
   • 对于电压输出，输出阻抗越小越好，因此反馈会减小输出阻抗
   • 对于电流输入，输入阻抗越小越好，因此反馈会减小输入阻抗
   • 对于电流输入，输出阻抗越大越好，因此反馈会增大输出阻抗

6. 写出下面放大器的反馈类型与其环路增益。假设电容仅起到分压的作用。

   
   答案

   此为电压-电流反馈（VCF）。

   先算出断开回路后P到M2漏极的增益，再算M2漏极经过M1到输出端的增益。注意在算P到M2的增益时已经考虑了R_s，因此后续可以认为电压源直接接在M1源极，没有R_s影响。

   $$\begin{aligned} A_{v,in2P} &= \dfrac{C_1}{C_1+C_2}\\ A_{v,P2M1s} &= g_{m2}\left(\tfrac{1}{g_{m1}+g_{mb1}}\Big\|R_s\right) \\ &=\dfrac{g_{m2}R_s}{1+(g_{m1}+g_{mb1})R_s} \\ \\ A_{v,M1s2Out} &=(g_{m1}+g_{mb1})R_D \\ \\ A_{loop} &= A_{v,in2P} \sdot A_{v,P2M1s} \sdot A_{v,M1s2Out} \end{aligned}$$

7. 写出下面的反馈类型，并写出开环增益、环路增益与闭环增益。

   
   答案

   CVF，因为输出端的电流变化使得R₁上的压降变化，从而带动V_FB变化，反馈回电压信号，导致M1栅极输入电压变化，因此为CVF。

   断开环路后计算环路增益，到M1源极是一个源随器。而输入端输入到输出端电流变化表现为跨导的阻抗。

   $$\begin{aligned} G_{open}&=\dfrac{i_{out}}{v_{in}}=\dfrac{A\sdot V_{in}\sdot \frac{g_m}{1+g_mR_s}}{V_{in}}\\&=\frac{A\sdot g_m}{1+g_mR_s}\\ A_{loop}&=\frac{A\sdot g_mR_s}{1+g_mR_s}\\ G_{CL} &= \dfrac{G_{open}}{1+A_{loop}} \end{aligned}$$

8. 对下图的反馈系统，若放大器为OTA，输入跨导为g_m，输出阻抗为R_out，输出节点对地电容为C_L，设R1与R2阻值远大于R_out，写出放大器开环传递函数表达式与整个系统的闭环传递函数表达式。

   写出闭环系统输出电阻和闭环系统-3dB带宽的表达式。

   
   答案

   $$\begin{aligned} A_{v,open} &= \dfrac{A_0}{1+s/\omega_{p}} = \dfrac{g_mR_{out}}{1+s\sdot (R_{out}C_L)}\\ A_{v,closed} &= \dfrac{A_{open}}{1+A_{loop}} = \dfrac{A_{open}}{1+\frac{R_2}{R_1+R_2}A_{open}}\\ R_{out,closed} &= \dfrac{R_{out,open}}{1+A_{loop}} =\dfrac{R_{out,open}}{1+\frac{R_2}{R_1+R_2}A_{open}}\\ \omega_{open} &= \frac{1}{R_{out}C_L}\\ \omega_{closed} &= \frac{1+A_{loop}}{R_{out}C_L} = \frac{1+\frac{R_2}{R_1+R_2}A_{open}}{R_{out}C_L} \end{aligned}$$

9. 反馈网络由哪四部分组成？

   答案

   前馈放大器、检测输出的手段、反馈网络、求和运算网络。

第九章：运算放大器

1. 写出五管OTA的主极点频率表达式、带宽以及增益带宽积。

   答案

   $$\begin{aligned} \omega_{p1}&= \dfrac{1}{\left(r_{o2}\|r_{o4}\right)\sdot C_L}\\ BW&=\dfrac{\omega_{p1}}{2\pi}\\ GBW&=\dfrac{\omega_{p1}}{2\pi} \sdot g_{m1,2}\left(r_{o2}\|r_{o4}\right)\\ &= \dfrac{g_{m1,2}}{2\pi\sdot C_L} \end{aligned}$$

2. 下图的放大器有几个小信号高电阻节点？其为几级放大器？

   
   答案

   有两个小信号高电阻节点，此为两级放大器。

   • 第一级为一个差动转单端的放大器
   • 第二级为电流源负载的共源极放大器

   有几个小信号高电阻节点，就是几级放大器！

   对于下图的放大器结构，若将M4改为二极管连接型，则放大器由两级变成一级！

   

3. 对于下面的共源共栅OTA放大器，分析该结构的优点，并写出其主极点与次极点在电路中产生的位置，说明理由。

   写出其增益带宽积。

   
   答案

   该结构为折叠型的共源共栅，输出摆幅上升，为$V_{b1}-V_{TH4}\leqslant V_{out} \leqslant V_{b2}+\left| V_{TH6}\right|$。

   主极点在输出，因为该处的电容最大，且为大阻抗节点。次极点在X处，该处的电容最多。

   $GBW=\dfrac{g_{m1}}{2\pi \sdot C_L}$

4. 对下面接成单位增益的共源共栅运算放大器，计算其输出摆幅，并说明其缺点。

   
   答案

   $$V_b-V_{TH4} \leqslant V_{out} \leqslant V_b-V_{GS4}+V_{TH2}$$

   输出摆幅太小，小于一个V_th。

5. 对于上图的共源共栅运算放大器，若不接成单位增益，写出其最大输入范围与最大输出范围表达式。

   答案

   $$\begin{aligned} V_{OD,SS}+V_{GS1} &\leqslant V_{in,CM}\leqslant V_{b1}-V_{GS3}+V_{TH1}\\ V_{OD,SS}+V_{OD2}+V_{OD4 } &\leqslant V_{out} \leqslant V_{DD}-|V_{OD6}|-|V_{OD8}| \end{aligned}$$

   注意输出端不能认为是Vx=Vout

6. 对于上图的共源共栅运算放大器，用作单位增益缓冲器时存在的最显著问题是什么？

   答案

   输入、输出的直流点相互限制，使得能接受的信号范围太窄。

7. 分析下面结构对于共源共栅运算放大器的优点，并写出该结构内的Mb1在设计时的尺寸特点。

   
   答案

   M3与M4的栅极偏置电压可以通过二极管连接型的Mb1来跟踪P点电压，实现上下浮动，而P点电压又会随着共模输入电平而变化，因此可增大输入摆幅。

   Mb1应当是一个窄而长的器件，使得其栅源电压为M1的过驱动电压加上M3的栅源电压。

8. 下图所示的两种全差动放大器是否需要共模反馈电路？为什么？

   
   答案

   a不需要，b需要。因为a所示的差动放大器为二极管连接型负载，输出直流电平确定，而b所示的差动放大器为电流源负载，输出直流电平不确定。

   对于全差动运算放大器，上下负载均含有电流源的时候需要共模反馈电路来确保输出电平确定！

9. 对于下图带共模反馈的运算放大器，敏感放大器应当选择NMOS输入型还是PMOS输入型？为什么？

   
   答案

   应当选择PMOS输入型。

   观察两个敏感放大器结构，均为二极管负载。对于PMOS输入型来说，M13与M14在连接M3与M4后，能够形成电流镜结构，从而提高电流匹配度。同时，二极管连接型可确保M3与M4的饱和。

   若反馈输出接到上面的M5与M6，即差动放大器上面的一对PMOS电流源上，则应当使用NMOS输入型的放大器，因M11与M5、M6可以形成电流镜结构。

10. 在运算放大器设计中，“线性缩放”指什么？

    答案

    “线性缩放”指将电路中晶体管宽度加倍的同时保持长度不变，从而改变其功耗。

    因为过驱动电压不变，宽度加倍，跨导与偏置电流均加倍，而本征电阻减半，因此增益与摆幅均不变，功耗则会变为原来的一倍。

11. 下图为传统结构的PMOS共源共栅级放大器与折叠型共源共栅放大器。写出两个放大器各自的输入摆幅，并分析右边结构的优点。

    
    答案

    $$\begin{aligned} V_b+\big| V_{GS2} \big| -\big| V_{TH1} \big| &\leqslant V_{in,normal} \leqslant V_{DD} -\big| V_{TH1} \big| \\ V_{TH1} &\leqslant V_{in,foldcas} \leqslant V_b+ \big| V_{TH2} \big| +V_{TH1} \end{aligned}$$

    右边结构的输入摆幅更大。

12. 从输出摆幅的角度，分析采用虚线框中放大器结构的好处。

    
    答案

    虚线框内为一个增益提高型的放大器级联一个电流源负载的共源极放大器，因M3是P管，因此M3输入可以较低，从而使M1输入也可以较低。此外，输出支路与输入支路分开，便于设置输出工作点。

    因此，该放大器的优势在于，实现增益提升的同时不影响主放大器的输出范围。

13. 如下图所示的共源共栅极放大器，请简要说明ABC各部分的作用。

    
    答案

    • A：电流镜，提供每一路需要的偏置电流
    • B/C：Gain-Boosting结构，增大NMOS网络与PMOS网络的阻抗，从而增大输出电阻，以此增大共源共栅极的增益

14. 为什么CMOS工艺中使用OTA比Opamp更多？若要用全差动共源共栅极放大器实现Opamp，应当怎么做？

    答案

    因为CMOS工艺中较难实现低的输出阻抗。

    应当在后面级联一个源随器输出。

第十章：稳定性与频率补偿

1. 对于单极点系统，为了使其相位裕度为63°，单位增益带宽与极点频率的关系是什么？若相位裕度为72°呢？

   答案

   $$\omega_u = 2\omega_1\\ \omega_u = 3\omega_1$$

2. 若将极点频率为$\omega_1$的放大器接入反馈系数为β的系统中，写出其闭环极点频率与时间常数的表达式。

   答案

   $$\begin{aligned} \omega_1' &= (1+\beta A_0)\omega_1\\ \tau' &= \dfrac{\tau}{1+\beta A_0}\approx \dfrac{1}{\beta \omega_u} \end{aligned}$$

3. 对于两级放大器的密勒补偿：

   第一级的输入晶体管跨导为g_m1，低频增益为A₁，输出端电容为C₁，输出阻抗为R₁；

   第二级的输入晶体管跨导为g_m2，低频增益为A₂，输出端电容为C₂，输出阻抗为R₂；

   补偿电容为C_C且远大于第一级输出端的电容。

   写出补偿后的两个极点表达式与零点表达式，可使用近似。

   若加入一个电阻R_Z以移动零点，写出新的零点频率表达式。

   答案

   $$\begin{aligned} \omega_{p1}' &= \frac 1 {\big(C_1+(1+A_{v2})\sdot C_C\big)\sdot R_1} \\ \omega_{p2}' &= \frac {g_{m2}} {\big(C_2 + \textcolor{red}{C_1}\big)} \\ \omega_{z}' &= \frac {g_{m2}} {C_C} \\ \omega_{z}'' &= \frac 1 {C_C\sdot \big( \dfrac 1 {g_{m2}} -R_{z}\big)} \end{aligned}$$

   对于共源级，当跨接的补偿电容足够大时，高频认为短路，因此参考共源极的频率分析电路图，输出端电容为C_GS+C_L！

   

   ​

   $$\begin{aligned} \omega_{p2} &= \frac{R_S (1 + g_m R_D) {C_{GD}} + \textcolor{pink}{R_S C_{GS}} + \textcolor{pink}{R_D (C_{GD} + C_{DB})}}{R_S R_D \left( C_{GS} C_{GD} + \textcolor{pink}{C_{GS} C_{DB}} + C_{GD} C_{DB} \right)}\\ &\approx \frac{g_m}{C_{GS} + C_{DB}} \end{aligned}$$

4. 用波特图方法研究电路稳定性，分析对象是电路的闭环传递函数、开环传递函数还是环路增益？

   答案

   环路增益。

5. 什么是振铃现象？什么是尖峰现象？

   答案

   振铃（Ringing）指电路响应阶跃脉冲后，输出信号达到稳态值之前出现震荡的现象。

   尖峰（Peaking），也称过冲（Over-shooting），指电路的幅频响应图在第一极点处出现增益尖峰的现象。

6. 若一个电路环路增益的相位裕度为30°，则接成闭环后，会发生哪些现象？

   答案

   阶跃响应出现衰减振铃现象，幅频响应出现Peaking。