超大规模集成电路设计笔记：第二篇

浮点数

浮点数标准

IEEE标准754-1985定义了浮点数的存储格式、运算规则、舍入方式以及特殊值的处理（如无穷大、NaN等）。其核心思想是用科学计数法的形式来表示实数：

$\begin{aligned} R &= (-1)^s \times M \times 2^E \\ &= (-1)^s \times (1+F) \times 2^E \end{aligned}$

其中：

s为符号位；
M为尾数，即有效数字部分，在1-2之间；
F为小数部分，在0-1之间；
E为指数，表示以 2 为底的幂次。

IEEE 754 定义了多种精度格式，最常用的是单精度浮点数与双精度浮点数：

单精度浮点数总共 32 位（4 字节）
- 1 位符号位
- 8 位指数（偏移量为 127）
- 23 位尾数（实际精度为 24 位，因为有隐含的前导 1）
双精度浮点数总共 64 位（8 字节）
- 1 位符号位
- 11 位指数（偏移量为 1023）
- 52 位尾数（实际 53 位精度）

相对精度

在浮点数表示中，相对精度是近似恒定的（在同一个指数区间内），这是浮点数优于定点数的关键之一。

$\begin{aligned} F_N &= 23 \times \log_{10}2 \approx 23 \times 0.3 \approx 6 \\ D_N &= 52 \times \log_{10}2 \approx 52 \times 0.3 \approx 16 \end{aligned}$

浮点加法

计算分四步走：

对齐数字：按较小的指数移动数字
整数及尾数相加
规格化结果并检查是否上溢或下溢
若有必要，进位并再次规格化

我们首先考虑4位的十进制：9.999 × 10¹ + 1.610 × 10^–1 = ?

   9.999  × 10^1 + 1.610 × 10^–1
=  9.999  × 10^1 + 0.016 × 10^1  // 对齐
= 10.015  × 10^1                 // 整数与尾数相加
=  1.0015 × 10^2                 // 规格化结果
=  1.002  × 10^2                 // 进位并再次规格化

随后考虑4位的二进制：1.000₂ × 2^–1 + –1.110₂ × 2^–2 (0.5 + –0.4375) = ？

  1.000(2) × 2^{–1} + –1.110(2) × 2^{–2} (0.5 + –0.4375)
= 1.000(2) × 2^{–1} + –0.111(2) × 2^{–1} // 对齐
= 0.001(2) × 2^{–1}                      // 整数与尾数相加
= 1.000(2) × 2^{-4}                      // 规格化，未溢出
= 1.000(2) × 2^{-4} = 0.0625             // 无需进位与规格化