半导体物理复习笔记：第二篇

晶体结构

集成电路制造技术复习笔记：第一章

常见半导体晶体结构：

金刚石结构 (diamond lattice)：硅（Si），锗(Ge)
闪锌矿结构(zincblende lattice)：砷化镓（GaAs）等
纤锌矿结构(wurtzite lattice)：硫化镉(CdS)，硫化锌（ZnS）等
氯化钠型结构：硫化铅(PdS)，碲化铅（PbTe）等

晶向指数与晶面

理解概念，各种括号的样子别搞混了。

[100]：用于表示某个晶向
<100>：用于表示一组晶向，如<100>表示所有可能的与坐标轴平行的方向
(100)：用于表示某个晶面
{100}：用于表示一组晶面

金刚石结构

每个原子周围有4个最近邻的原子，组成正四面体，任一顶角上的原子和中心原子各贡献一个价电子为两个原子共有，共有的电子在两个原子之间形成较大的电子云密度，通过它们对原子实的引力结合两个原子，此为共价键。

闪锌矿结构

闪锌矿结构中的化学键含有混合键，这是共价键和离子键的组合。闪锌矿结构内的混合键起主要作用的是共价键，但结合性质有一定的离子性，这是因为不同族原子之间的电离能有一定差别。

常见的闪锌矿结构的晶体有砷化镓、磷化铟。

金刚石结构与闪锌矿结构相同。

但金刚石结构由同种元素构成，化学键为共价键，而闪锌矿由两类不同元素构成，主要为共价键，同时又具有离子键的混合成分。

纤锌矿结构

纤锌矿结构内也含有混合键，且其离子性结合占优。

氯化钠结构

一些习题

硅的原子面密度

计算硅(100)、(110)、(111)面每平方厘米内的原子个数，即原子面密度。

答案

对于(100)面，四个顶角各有一个占据1/4的原子（仅考虑平面），面中心还有一个原子占据1，因此为 $\dfrac{1+\frac{1}{4}\times 4}{a^2}=\dfrac{2}{a^2}$

对于(110)面，四个顶角各有一个占据1/4的原子，棱上有两个原子共占据1（两个面共用一条棱），面内还有两个原子，共占据2，因此为 $\dfrac{2+\frac{1}{4}\times 4 + \frac{1}{2}\times 2}{\sqrt{2}a^2}=\dfrac{4}{\sqrt{2}a^2}=\dfrac{2\sqrt 2}{a^2}$

对于(111)面，不妨按照等边三角形计算：三个顶角各有一个占据1/6的原子（因为等边三角形角度为60°，60/360=1/6），棱上有两个原子共占据3/2，因此为 $\dfrac{\frac{1}{6}\times 3 + \frac{1}{2}\times 3}{\frac{\sqrt{3}}{2}a^2}=\dfrac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}a^2}=\dfrac{4}{\sqrt{3}a^2}$ 。

Silicon Crystal Lattice by lydiathelee on Sketchfab

电子状态与能带

原子的能级和晶体的能带

壳层	支壳层				电子数
	s	p	d	f
K (1)	0				2
L (2)		1			2+6=8
M (3)			2		2+6+10=18
N (4)			2	3	2+6+10+14=32

电子的能级是量子化的。孤立原子的能级如1s/2s/2p，是独立的。当两个原子相互靠近的时候，由于电子的壳层的交叠，电子不再局限在一个原子上，可以在原子之间转移，在整个晶体中运动。原来在某一能级上的电子就分别处在分裂的两个能级上，这时电子不再属于某一个原子，而为两个原子所共有。

多个原子重复此行为，就将能级分裂为能带。

能带的特点：

准连续；
内层电子共有化运动弱，能级分裂小，能带窄；
外层电子共有化运动强，能级分裂大，能带宽；
形成允带和禁带；
核外价电子共有化运动成为准自由电子。

以硅晶体的能带形成为例：

半导体中电子的状态和能带

单电子近似认为，晶体中的某一个电子是在周期性排列且固定不动的原子核的势场，以及其他大量电子的平均势场中运动,这个势场也是周期性变化的，而且它的周期与晶格周期相同。

自由电子

微观粒子具有波粒二象性。

$\begin{aligned} p&=m_0\nu \\ E&=\frac{1}{2}\frac{p^2}{m_0} \end{aligned}$

使用平面波来表示自由粒子：

$\Phi(\vec{r},t)=Ae^{i2\pi(\vec{k}\cdot\vec{r}-\nu t)}$

能量与平面波频率关系： $E=\hbar\nu$

动量与波矢关系 $\vec{p}=\hbar\vec{k}$

半导体中的电子状态

我们对周期性势场中的电子采用近似：

绝热近似：电子的质量比原子核小的多，电子运动远快于原子核，故考虑电子运动规律时，可近似认为原子核固定不动；
单电子近似：把每个电子的运动单独考虑，认为电子在原子核势场和其它所有电子的平均势场中运动。这个势场与晶格具有相同的周期，称为周期性势场。

一维晶格周期性势场示意图

布洛赫定理

晶体中电子运动的薛定谔方程为：

$-\frac{\hbar^2}{2m_0}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x)$

布里渊区与能带

求解晶体中电子运动的薛定谔方程，可以得到解为： $k=\dfrac{n\pi}{a}\quad (n=0,\pm1,\pm2 \cdots)$

E(k)与k的关系

可知允带出现在以下布里渊区：

第一布里渊区： $-\dfrac{\pi}{a}\lt k \lt \dfrac{\pi}{a}$
第二布里渊区： $-\dfrac{2\pi}{a}\lt k \lt -\dfrac{\pi}{a},\quad \dfrac{\pi}{a}\lt k \lt \dfrac{2\pi}{a}$
第三布里渊区： $-\dfrac{3\pi}{a}\lt k \lt -\dfrac{2\pi}{a},\quad \dfrac{2\pi}{a}\lt k \lt \dfrac{3\pi}{a}$

禁带出现在 $k=\dfrac{n\pi}{a}$ ，即布里渊区边界上。

为了方便表示，使用简约布里渊区来表示，如图(c)所示。此为E(k)与k的多值函数，因此在说明其关系时，必须使用E_n(k)来表明是第几个能带。

E(k)-k的对应意义：

一个k值与一个能级（又称能量状态）相对应；
可以证明，每个布里渊区有N个k状态，每个能带中有N个能级；（N：晶体的固体物理学原胞数）
能级准连续。

金刚石型结构的第一布里渊区

面心立方体的第一布里渊区为截角八面体，构成一个十四面体。请看VCR。

金刚石型结构的第一布里渊区

硅、锗都属于金刚石结构，其固体物理学原胞为面心立方，所以它们具有相同的倒格子和布里渊区。III-V族化合物大多属于闪锌矿结构，它们也具有上图所示的布里渊区。

导体、半导体和绝缘体的能带

满带中的电子，在电场的作用下不形成电流；被电子部分占满的能带，在电场作用下，形成电流。好比盛满水的瓶子摇不响，但是装了一半水的瓶子能摇的响啊很响啊

对于绝缘体、半导体、导体的能带：

金属是半满带；
半导体和绝缘体的导带，在绝对零度的时候，是空的，价带是满的；
半导体和绝缘体的禁带宽度（带隙）不同。

金属能带部分占满，导电性好；
半导体能带禁带窄,电子易激发到导带，导电性介于金属与绝缘体之间；
绝缘体能带禁带宽，能激发的电子少，导电性差。

本征激发

会考名词解释。

价带上的电子激发成为准自由电子，即价带电子激发成为导带电子的过程，称为本征激发。

对于半导体而言，导带底部和价带顶部的电子对其各项性能往往起决定性的作用。

导带底 E_c 导带电子的最低能量
价带顶 E_v 价带电子的最高能量
禁带宽度 E_g=E_c-E_v

半导体中电子的运动与有效质量

能带关系与有效质量

设能带底位于k=0，则在k=0泰勒展开：

$\begin{aligned} \frac{1}{\hbar^2}\left(\frac{d^2E}{dk^2}\right)_{k=0}=\frac{1}{m_n^*}\\ \\ E\left(k\right)-E\left(0\right)=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m_{n}^{*}} \end{aligned}$

称m_n^*为能带底电子有效质量，为正。

同样，设能带顶位于k=0，则在k=0泰勒展开：

$\begin{aligned} \frac{1}{\hbar^2}\left(\frac{d^2E}{dk^2}\right)_{k=0}=\frac{1}{m_n^*}\\ \\ E\left(k\right)-E\left(0\right)=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m_{n}^{*}} \end{aligned}$

称m_n^*为能带顶电子有效质量，为负。

从上式还可以得出：

${m_n}^{*} = \frac{\hbar ^ 2}{\dfrac{d^2E}{dk^2}}$

可以看出，能带越窄,二次微商越小，有效质量越大。

内层电子的能带窄，有效质量大；外层电子的能带宽，有效质量小。因此，外层电子在外力作用下可以获得较大的加速度。

平均速度与加速度

平均速度

上面提到： $E=\dfrac{1}{2}\dfrac{p^2}{m_0}$ ，两边对k求导，并带入 $p=m_0\nu$ ，可得：

$\nu=\frac{1}{\hbar}\frac{dE}{dk}$

再带入上面得到的有效质量，可得：

$\nu=\frac{\hbar k}{ {m_n}^*}$

这就是能带极值附近电子的速度。

速度和有效质量的正负关系要注意！

加速度

$\begin{aligned} & dE=fds=f\nu dt \\ & \nu=\frac{1}{\hbar}\frac{dE}{dk} \end{aligned}$

化简可得：

$a=\frac{d\nu}{dt}=\frac{1}{\hbar}\frac{d}{dt}\left(\frac{dE}{dk}\right)=\frac{1}{\hbar}\frac{d^2E}{dk^2}\frac{dk}{dt}=\frac{f}{\hbar^2}\frac{d^2E}{dk^2}=\frac{f}{ {m_n}^*}$

半导体中电子所受的外力与加速度的关系和牛顿第二定律类似。

有效质量的意义

半导体中的电子在外力作用下，描述电子运动规律的方程中出现的是有效质量而非惯性质量。这是因为上面式子中的f并不是电子受力的总和。半导体中的电子即使在没有外加电场作用时，它也要受到半导体内部原子及其他电子的势场作用。

因此，电子的加速度应该是半导体内部势场和外电场作用的综合效果。

有效质量并不代表真正的质量，而是代表能带中电子受外力时外力与加速度的一个比例系数，其概括了半导体内部势场的作用！

空穴受到了更多来自半导体内部势场的影响，故体现为具有更大的有效质量。

栗子

此PPT内动量有误，应当为 $\hbar k$ 。

答案

宽度就是两个在各自极值点的值相减。
求导之后带入极值点的k就行了。注意求出来的应该是正值。
同上，但是注意是负值。
带入k的差值。注意准动量 $p=\hbar k$

本征半导体的导电机构：空穴

电子可以在晶体中做共有化运动，但是，这些电子能否导电，还必须考虑电子填充能带的情况，不能只看单个电子的运动。

研究发现，如果一个能带中所有的状态都被电子占满，那么即使有外加电场，晶体中也没有电流，即满带电子不导电。只有虽包含电子但并未填满的能带才有一定的导电性，即不满的能带中的电子才可以导电。

空穴实际上是一种等效方法。在热力学温度为零时，纯净半导体的价带被价电子填满，导带是空的。在一定温度下，价带顶部附近有少量电子被激发到导带底部附近，在外电场的作用下，导带中电子便参与导电。价带中空着的状态看成带正电的粒子，称空穴，带一个单位的正电荷。

空穴认为带的是正电荷，自然运动方向和电场一致。从上图可以看出：价带顶的空穴向下是能量增大，而导带底的电子向上是能量增大。

空穴是假想粒子，价带顶，价带空出的空状态；
空穴带一个单位的正电荷q；
有效质量为正，大小与价带顶电子有效质量相同，位于价带顶，空穴有效质量m_p^*=-m_n^*；
k状态的空穴速度等于该状态的电子速度。

价带中大量电子对电流的贡献可以用少量的空穴表达，方便分析问题！

导电机构

在半导体中存在两种载流子：电子与空穴。而在本征半导体中，电子数等于空穴数。

金属只有电子一种载流子。

回旋共振

回旋共振是一种实验，可测出载流子有效质量并据此推出半导体的能带结构。

k空间等能面

对于实际的三维晶体，k_x、k_y、k_z为坐标构成k空间：

$\vec{k} = k_x \vec{i} + k_y \vec{j} + k_z \vec{k}$

对于各向异性的晶体，沿着不同的波矢k方向的能带关系不一定相同，反映出沿着不同的k方向，电子的有效质量不一定相同。在极值附近进行泰勒展开：

$\dfrac{(k_x - k_{0x})^2}{\dfrac{2{m_x}^*(E - E_c)}{\hbar^2}} + \dfrac{(k_y - k_{0y})^2}{\dfrac{2{m_y}^*(E - E_c)}{\hbar^2}} + \dfrac{(k_z - k_{0z})^2}{\dfrac{2{m_z}^*(E - E_c)}{\hbar^2}} = 1$

当E为某个定值时，对应不同方向上的，连接起来构成一个封闭面，此面上能量值相等。

硅、锗晶体的导带等能面为旋转椭球面。

回旋共振实验

记住概念，曾经考过名词解释。

回旋共振实验是将一块半导体样品置于均匀恒定的磁场中，用电磁波通过样品，发生回旋共振吸收，测出共振吸收时电磁波的频率ω，可得到有效质量m_n^*。

$\frac{1}{ {m_n}^*} = \sqrt{\frac{ {m_x}^*\alpha^2+ {m_y}^*\beta^2+ {m_z}^*\gamma^2}{ {m_x}^* {m_y}^* {m_z}^*}}$

共振吸收峰个数和B的方向有关，可反推各个方向的有效质量！

有效质量与共振吸收时候的频率成反比，与外加磁场强度成正比！

硅和锗的能带结构

硅和锗的导带结构

叙述能带结构的几个必须点：

极值的位置；
极值点的个数；
极值点附近等能面的形状；
椭球轴的长轴方向。

n型硅的导带结构

对于n型硅，进行实验后：

B沿[111]晶轴方向，观察到一个吸收峰
B沿[110]晶轴方向，观察到两个吸收峰
B沿[100]晶轴方向，观察到两个吸收峰
B沿任意方向，观察到三个吸收峰

可以根据实验结果假设：

球形等能面，各向同性有效质量，极小值在k＝0处，无论B沿任何方向，只有一个吸收峰，与实验结果不符。
设硅导带底附近等能面为沿[100]方向的旋转椭球面，椭球长轴与[100]方向重合，导带最小值在[100]方向上。

根据硅晶体的立方对称性的要求，必有同样的等能面在其它5个方向上，共有6个旋转椭球面，电子分布在这些极值附近。

化简等能面方程：选取E₀为能量零点，以k_0-为坐标原点，取k₁k₂k₃为三个直角坐标轴，分别与椭球主轴重合，并使k₃轴沿椭球长轴方向（即k₃沿〈100〉方向），则等能面分别为绕k₃轴旋转的旋转椭球面：

$E(k)=\frac{\hbar^2}{2}\left[\frac{k_1^2+k_2^2}{m_t}+\frac{k_3^2}{m_l}\right]$

其中，因为等能面为沿[100]方向的旋转椭球面，则沿着k₁k₂的有效质量相同，设其为m_t。

同理，有效质量也可以进行简化：

下面分析实验结果：

磁感应强度B沿[111]方向，有一个吸收峰：

此时，B与六个[100]方向即<100>晶向簇的夹角角度都相同（角度取为0-90之间），因此有效质量只有一个值。
磁感应强度B沿[110]方向，有两个吸收峰：

此时，B与[100]、[-1 00]、[010]、[0 -1 0]的夹角都为cos²=0.5，与[001]、[00 -1]的夹角都为cos²=0。因此，对应两种有效质量，即有两个吸收峰。
磁感应强度B沿[100]方向，有两个吸收峰：

此时，B与[100]、[-1 00]的夹角都为cos²=1，与、[010]、[0 -1 0]、[001]、[00 -1]的夹角都为cos²=0。因此，对应两种有效质量，即有两个吸收峰。
磁感应强度B沿[任意]方向，有三个吸收峰：

显然，此时B与<100>夹角可以有三种不同的cos²值，因此对应三种有效质量，即有三个吸收峰。