半导体物理复习笔记：第四篇

怎么能有不分 $h$ 和 $\hbar$ 的老师，真的要被气晕了

状态密度

在半导体的导带和价带中，有很多能级存在，但相邻能级间隔很小，可以近似认为能级是连续的，因而可将能带分为一个一个能量很小的间隔来处理。

假定在能带中能量E~(E+dE)之间无限小的能量间隔内有dZ个量子态，则状态密度g(E)为 $g(E) = \dfrac{dZ}{dE}$ 。也就是说，状态密度就是在能带中能量E附近每单位能量间隔内的量子态数。

k空间量子态分布与能量状态密度

所以k空间中量子态密度（单位体积）为V＝L³。考虑电子自旋，则量子态密度为2V （单位体积）。k空间量子态是均匀分布的。

k空间等能面及解决问题思路

$g(E) = \dfrac{dZ}{dE}=\dfrac{2Vd\Omega}{dE}$ ，其中 $d\Omega$ 是对应的体积微元。

球形等能面

若能带极值在k＝0且等能面为球形，则微元 $d\Omega=4\pi k^2 dk$ 。k空间中，电子的允许量子态密度为 $2V/8\pi^3$

又有： $E\left(k\right)=E\left(0\right)+\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m_{n}^{*}}$ ，对k求导并带入，可得：

$dZ=4\pi V\frac{(2m_n^*)^{3/2}}{h^3}(E-E_c)^{1/2}dE$

因此，导带底附近的状态密度为：

$g_c(E) = 4\pi V\frac{(2m_n^*)^{3/2}}{h^3}(E-E_c)^{1/2}$

同理，对于若能带极值在k＝0且等能面为球形的价带顶附近状态密度为：

$g_v(E) = 4\pi V\frac{(2m_p^*)^{3/2}}{h^3}(E_v-E)^{1/2}$

旋转椭球型等能面

若能带极值不在k＝0且等能面为旋转椭球形，则： $E(k)=E(0)+\dfrac{\hbar^2}{2}\left[\dfrac{k_1^2+k_2^2}{m_t}+\dfrac{k_3^2}{m_l}\right]$ ，其体积微元为：

$\Omega = \dfrac{4}{3}\pi abc =\dfrac{4}{3}\pi\dfrac{2^{3/2}m_{t}^{*}(m_{l}^*)^{1/2}(E-E_{c})^{3/2}}{\hbar^{3}}$

对于s个椭球，包含的总量子态数为：

$Z_{total} = \textcolor{red}{s} \sdot 2V \sdot d\Omega = \textcolor{red}{s} \sdot V \sdot \dfrac{8}{3}\pi\dfrac{\left[2 \big((m_t^*)^2 m_{l}^*\big)^{1/3} (E-E_{c})\right]^{3/2}}{\hbar^{3}}$

则状态密度为：

$\begin{aligned} g_c(E) &= 4 \pi V \dfrac{(2m_n^*)^{3/2}}{h^3} [E-E_c]^{1/2} \\ m_n^* &= s^{2/3} (m_l m_t^2)^{1/3} \end{aligned}$

考虑轻重空穴价带

$\begin{aligned} g_v(E) &= 4\pi V\frac{(2m_p^*)^{3/2}}{h^3}(E_v-E)^{1/2}\\ m_p^* &= \left[ (m_p)_l^{3/2} + (m_p)_h^{3/2} \right]^{2/3} \end{aligned}$

费米能级与载流子的统计分布

费米分布函数和费米能级

电子按能量的大小有一定的统计分布规律：

$f(E)=\frac{1}{1+\exp(\dfrac{E-E_F}{k_0T})}$

其中E_F是费米能级，费米能级是系统的化学势。

从图像可以看出：温度越高，曲线越平缓。当处于绝对零度时，曲线完全为阶跃。

高于费米能级的量子态几乎是空的，低于则几乎是满的。

费米能级与温度、半导体材料的导电类型、杂质含量及能量零点选取有关。

玻耳兹曼分布函数

对于电子，在上式中，若 $E-E_F \gg k_0T$ ，此时 $\exp(\dfrac{E-E_F}{k_0T}) \gg 1$ ，前面相加的1可以忽略不计。化简可得：

$f_B(E) = \exp(\dfrac{E_F}{k_0T}) \cdot \exp(-\dfrac{E}{k_0T}) = A\exp(-\dfrac{E}{k_0T})$

此为玻耳兹曼统计分布函数。可以看出，费米分布会在指数项较大的时候向着玻尔兹曼分布过渡。

我们用1减去上面求得的被电子占据几率，就是不被电子占据，即被空穴占据的几率：

$\begin{aligned} 1-f(E)&= \frac{\exp(\dfrac{E-E_F}{k_0T})}{1+\exp(\dfrac{E-E_F}{k_0T})}\\ \\ &=\frac{1}{\exp(\dfrac{\textcolor{red}{E_F-E}}{k_0T})+1} \end{aligned}$

同理， $E_F-E \gg k_0T$ 时，上式可化简为：

$1-f(E) \simeq \exp(-\dfrac{E_F}{k_0T}) \cdot \exp(\dfrac{E}{k_0T}) = B\exp(\dfrac{E}{k_0T})$

综合上面的两个式子，不难发现：

导带中，绝大多数电子分布在导带底附近；价带中，绝大多数空穴分布在价带顶附近。

上图右边的小鼓包函数就是 $g(E)f(E)$ 。

非简并半导体与简并半导体

通常把服从玻耳兹曼统计律的电子系统称为非简并性系统，而服从费米统计律的电子系统称为简并性系统。

非简并性系统	简并性系统
掺杂浓度低	掺杂浓度高
玻尔兹曼分布	费米分布
不考虑泡利不相容原理	考虑泡利不相容原理

载流子浓度乘积

公式太多了记不下来的。记好主要变量的变化趋势就行。比如 $N_c \propto T^{3/2}$ 、 $n_0 \propto T^{3/4}\exp(\dfrac{-\Delta E_D}{2k_0T})$ 。

$n_0 = 2 \left( \frac{2 \pi m_n^* k_0 T}{\hbar ^3} \right)^{3/2} \cdot \exp \left( -\frac{E_c - E_F}{k_0 T} \right)$

不妨令导带的有效状态密度 $N_c = 2 \left( \dfrac{2 \pi m_n^* k_0 T}{\hbar^3} \right)^{3/2}$ ，对于空穴亦然：

$\begin{aligned} n_0 = N_c \cdot \exp \left( -\frac{E_c - E_F}{k_0 T} \right)\\ p_0 = N_v \cdot \exp \left( -\frac{E_F - E_v}{k_0 T} \right)\\ \end{aligned}$

将两式相乘可得：

$n_0 p_0 = N_c N_v \exp (-\dfrac{E_c-E_v}{k_0T}) = N_c N_v \exp (-\dfrac{\textcolor{red}{E_g}}{k_0T})$

载流子浓度乘积的特性：

一定的半导体，如果温度一定，则载流子乘积一定，与费米能级无关，与杂质浓度无关。
适用于热平衡状态下的非简并半导体，包括本征半导体和杂质半导体（杂质浓度不高）。

本征半导体的载流子浓度

求本征半导体的费米能级的公式必考。

本征半导体中电子与空穴成对产生，因此可求解费米能级：

$\begin{aligned} E_i = E_F &= \frac{E_c + E_v}{2} + \textcolor{red}{\frac{k_0 T}{2}} \ln \frac{N_v}{N_c} \\ & = \frac{E_c + E_v}{2} + \textcolor{red}{\frac{3 k_0 T}{4}} \ln \frac{m_p^*}{m_n^*} \end{aligned}$

又因为： $n_0p_0=n_i^2$ ，带入相关数值计算可得：

$\begin{aligned} n_i &= \left[ \frac{2 (2 \pi k_0 T)^{3/2} \left( m_p^* m_n^* \right)^{3/4}}{\hbar ^3} \right] \exp \left( -\frac{E_g}{2 k_0 T} \right) \\ &= 4.82\times10^{15} \left(\dfrac{m_p^* m_n^*}{m_0^2}\right)^{3/4} T^{3/2} \exp \left( -\frac{E_g}{2 k_0 T} \right)\\ &= \big( N_CN_V \big)^{1/2} \exp \left( -\frac{E_g}{2 k_0 T} \right) \end{aligned}$

由公式可知：温度升高，本征载流子浓度升高。若升高到大于掺杂浓度时，本征激发占主要，器件不能稳定工作。

同理，温度不变时，禁带宽度增加，本征载流子浓度减小。对于不同半导体，禁带宽度大的对应的工作温度更高；同种半导体，掺杂大对应的本征载流子浓度大，极限温度高，所以高掺杂有利于器件高温工作。

本征载流子浓度小于掺杂浓度的十分之一时，可以认为以杂质电离为主！

杂质半导体的载流子浓度

杂质能级上的电子和空穴

杂质能级：等高、分立、短线

杂质能级与能带中能级的区别：

能带中能级可以容纳两个自旋相反的电子
杂质能级只能容纳一个任意自旋的电子或不被电子占据
杂质能级被占据的几率不能用标准的费米分布函数

电子占据施主能级的概率为：

$f_D(E) = \frac{1}{1 + \dfrac{1}{g_D} \exp\left(\dfrac{E_D - E_F}{k_0 T}\right)}$

同理，对于空穴，占据受主能级的概率为：

$f_A(E) = \frac{1}{1 + \dfrac{1}{g_A} \exp\left(\dfrac{E_F - E_A}{k_0 T}\right)}$

其中g_D是施主能级的基态简并度，通常称为简并因子。对于锗、硅、砷化镓等材料，g_D=2，g_A=4。对于近似计算，可以认为简并因子都为2。

施主能级

施主能级上的电子浓度为：

$n_D = N_Df_D(E) = \frac{N_D}{1 + \dfrac{1}{2} \exp\left(\dfrac{E_D - E_F}{k_0 T}\right)}$

电离施主浓度为：

$n_D^+ = N_D\big[1 - f_D(E)\big] = \frac{N_D}{1 +\textcolor{red}{2} \exp\left(\textcolor{red}{-}\dfrac{E_D - E_F}{k_0 T}\right)}$

受主能级

受主能级上的空穴浓度为：

$p_A = N_Af_A(E) = \frac{N_A}{1 + \dfrac{1}{2} \exp\left(\dfrac{E_F - E_A}{k_0 T}\right)}$

电离受主浓度为：

$p_A^- = N_A\big[1 - f_A(E)\big] = \frac{N_A}{1 + \textcolor{red}{2} \exp\left(\textcolor{red}{-}\dfrac{E_F - E_A}{k_0 T}\right)}$

由上面的式子可知：当费米能级远在施主能级之下时，可以认为施主杂质几乎全部电离，反之则认为施主杂质基本上没有电离。对受主能级亦然。

n型半导体的载流子浓度

对于杂质半导体，考虑电中性条件： $n_0=p_0+n_D^+$ 。因为是n型半导体，空穴数量可以忽略不计，因此： $n_0=n_D^+$ 。带入上面公式：

$\begin{aligned} \exp \left( -\frac{E_c - E_F}{k_0 T} \right) \left( 1 + 2 \exp \left( -\frac{E_D - E_F}{k_0 T} \right) \right) - \frac{N_D}{N_C} = 0 \\ \exp \left( -\frac{E_c - E_D}{k_0 T} \right) \textcolor{blue}{\exp \left( -\frac{E_D - E_F}{k_0 T} \right)} + 2 \exp \left( -\frac{E_c - E_D}{k_0 T} \right) \textcolor{blue}{\exp \left( -\frac{2E_D - 2E_F}{k_0 T} \right)} - \frac{N_D}{N_C} = 0 \end{aligned}$

可以使用换元法：

$\begin{aligned} x = \exp \left( -\frac{E_D - E_F}{k_0 T} \right) &\Rightarrow \\ 2x^2 + x - \dfrac{N_D}{N_c} \exp\left(\dfrac{\Delta E_D}{k_0T}\right) &= 0 \\ x = \frac{\sqrt{1 + \dfrac{8 N_D}{N_c} \exp \left( \dfrac{\Delta E_D}{k_0 T} \right)}-1}{4} \end{aligned}$

带回费米能级表达式：

$E_F = E_D+k_0T\ln\Bigg[\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{8 N_D}{N_c} \exp \left( \dfrac{\Delta E_D}{k_0 T} \right)}-1}{4} \Bigg]$

低温弱电离区

低温弱电离时，大部分施主能级依然被电子占据，只有少部分施主杂质发生电离，使少量的电子进入导带，这种情况被称为弱电离。

温度T很低，使得 ${\Delta E_D} >> {k_0 T}$ ，则费米能级表达式可化简为：

$E_F =\dfrac{E_c+E_D}{2}+\dfrac{k_0T}{2}\ln\Big[ \dfrac{N_D}{2N_c} \Big]$

求导可知： $\ln\Big[ \dfrac{N_D}{2N_c} \Big] = \dfrac{3}{2}$ 时有极大值，为 $\dfrac{E_c+E_D}{2}+\dfrac{3k_0T}{4}$ 。

强电离区（饱和电离区）

此区域下 $\dfrac{8 N_D}{N_C} \exp \left( \dfrac{\Delta E_D}{k_0 T} \right) \ll 1$ ，因此使用常见的小量近似代换：

$\sqrt{1 + \dfrac{8 N_D}{N_c} \exp \left( \dfrac{\Delta E_D}{k_0 T} \right)}-1 \approx \dfrac{4 N_D}{N_c} \exp \left( \dfrac{\Delta E_D}{k_0 T} \right)$

$\begin{aligned} E_F &= E_c + k_0T\ln\Big[ \dfrac{N_D}{N_c} \Big] &\textcolor{red}{(\ln\Big[ \dfrac{N_D}{N_c} \Big] \lt 0)} \\ &= E_i + k_0T\ln\Big[ \dfrac{N_D}{n_i} \Big] &\textcolor{red}{(\ln\Big[ \dfrac{N_D}{N_i} \Big] \gt 0)} \end{aligned}$

因此：

温度升高会导致费米能级靠近本征费米能级，且掺杂浓度越高，费米能级靠近本征费米能级能级的所需温度就越高。
温度一定，施主掺杂浓度越大，费米能级越靠近导带底。

在此区域，载流子浓度与温度无关，保持一个定值。绝大多数半导体器件都工作在此温度区间。

求解饱和电离区的范围，常见的问题有两种：

温度一定，求杂质浓度的范围：

我们规定 $D_+=\dfrac{n_D^+}{N_D}$ ，为已电离占总杂质的比例，并规定D₊大于90%时认为杂质全部电离。省略D₊的二次方项，可求出杂质浓度上限：

$N_{D,max} = \frac{0.1}{2 \times 0.9^2} N_C \exp \left( -\frac{\Delta E_D}{k_0 T} \right) = 0.062 N_C \exp \left( -\frac{\Delta E_D}{k_0 T} \right)$

再规定：若掺杂浓度为n_i的10倍，可认为是杂质电离起作用，可以求出杂质浓度下限：

$N_{D,min} = 10n_i$
杂质浓度一定，求温度范围： $B\dfrac{1}{T} = A+\dfrac{3}{2}\ln T$

中间电离区

介于上面两个区域之间的是中间电离区。比如77k，处在中间电离区。

过渡区

当半导体处于饱和区和完全本征激发之间时称为过渡区，此时本征激发相对杂质电离所提供的载流子不能再忽略！

根据电中性条件 $n_0 = N_D +p_0$ ：

强本征激发区

$E_F = E_i = \dfrac{E_c+E_v}{2}+ \dfrac{k_0T}{2}\ln\Big[ \textcolor{red}{\dfrac{N_v}{N_c}} \Big]$

图表

只含一种受主杂质的p型半导体的载流子浓度

一般情况下的载流子统计分布

由图可知：温度越高，平衡少子浓度越高，因本征载流子浓度升高。

简并半导体载流子浓度

当半导体的掺杂浓度很高（大于10¹⁹/cm³）时，费米能级可以进入导带或价带，导带中电子浓度和价带中空穴浓度很高，必须考虑泡利不相容原理。

费米分布不能简化为玻尔兹曼分布，计算平衡态载流子浓度时，必须使用费米分布函数。

为简化计算，引进费米积分：

$\int_0^{\infty} \frac{x^{1/2}}{1 + \exp(x - \xi)} \, dx = F_{1/2}(\xi) = F_{1/2} \left( \frac{\textcolor{red}{E_F - E_c}}{k_0 T} \right)$

查表可以得出费米积分的值：

对于载流子浓度，当费米能级与导带底重合：

$n_0= N_c\frac{2}{\sqrt{\pi}} F_{\frac{1}{2}}(0)$

对于载流子浓度乘积：

$n_0 p_0 = N_c N_v \frac{4}{\pi} F_{\frac{1}{2}}(\xi) F_{\frac{1}{2}}(\xi') \textcolor{red}{\neq n_i^2}$

简并化条件

要记住。不过很好理解：费米能级跑到导带价带里了肯定就是简并状态了，非常接近的时候就是弱简并。

$\begin{cases} E_c-E_F>2k_0T&(\text{非简并}) & \xi<-2 \\ 0<E_c-E_F\leq2k_0T&(\text{弱简并}) & 0>\xi\geq-2 \\ E_c-E_F\leq0&(\text{简并}) & \xi\geq0 & \end{cases}$