半导体物理复习笔记：第六篇

非平衡载流子的产生和复合

平衡载流子和非平衡载流子的关系

对半导体施加外部作用（光照、电注入等），可以破坏热平衡，使其成为非平衡态。载流子浓度比平衡时的多些，多余的那部分用Δn/Δp表示，称其为非平衡载流子或过剩载流子，用n或p表示总的载流子浓度，因此得到：

$\begin{aligned} n &= n_0+\Delta n \\ p &= p_0+\Delta p \end{aligned}$

$\begin{aligned} n_0p_0 &= n_i^2 \\ & \Rightarrow \\ np &= (n_0+\Delta n)(p_0+\Delta p) \\ &\neq n_i^2 \end{aligned}$

平衡少数载流子通常非常少，非平衡载流子浓度往往比平衡少数载流子大得多；多数载流子受非平衡载流子影响很小，而非平衡载流子浓度几乎决定了少数载流子浓度。

在非平衡半导体中，非平衡少数载流子对半导体特性影响起主要作用，主要考虑非平衡少子的情况。

非平衡载流子的产生和检验

$\begin{aligned} J &=\Big[(n_0+\Delta n)q\mu_n + (p_0+\Delta p)q\mu_p \Big]\big| E \big | \\ &= \sigma_0 \big| E \big | +\textcolor{blue}{\Delta \sigma}\big| E \big | \end{aligned}$

我们称Δσ为附加电导率。

非平衡载流子的寿命

撤销光照，非平衡载流子并不会马上消失，而是逐渐减小并最终回到热平衡状态（净复合过程）。该过程的快慢由非平衡载流子的平均生存时间，即非平衡载流子的寿命，即平均生存时间τ决定。

对于非平衡少子，浓度满足对数方程：

$\Delta p(t) = (\Delta p )_0e^{-t/\tau}$

常见的测量非平衡少子方法包括：

光电导衰减法
光磁电法
扩散长度法
双脉冲法

光磁电法适用于测量短寿命的半导体材料！

非平衡载流子的平均生存时间

由上式，可以计算出所有少数载流子的平均生存时间：

$\begin{aligned} \overline{t} &= \dfrac{\int td\Delta p(t)}{\int d\Delta p(t)}\\ &= \dfrac{\int_0^\infin te^{-t/\tau} dt}{\int_0^\infin e^{-t/\tau} dt}\\ &= \tau \end{aligned}$

要会看Δp(t)曲线图。

准费米能级

半导体中的电子系统处于热平衡状态时，在整个半导体中有统一的费米能级，电子和空穴浓度可以都用它来描写。我们将此类比到非平衡状态：

$\begin{aligned} n &= N_c\exp(-\frac{E_c-\textcolor{red}{E_{Fn}}}{k_0T})\\ p &= N_v\exp(-\frac{\textcolor{red}{E_{Fp}}-E_\nu}{k_0T}) \end{aligned}$

由上式明显地看出，无论是电子还是空穴，非平衡载流子越多，准费米能级偏离费米能级就越多，但各自的准费米能级偏离程度是不一样的。例如，对于n型半导体，在小注入条件下，显然平衡多子浓度远大于非平衡多子浓度，且总多子浓度约等于平衡多子浓度，因此E_Fn比E_F更靠近导带；显然非平衡少子浓度远大于平衡少子浓度，且总少子浓度约等于非平衡少子浓度，E_Fn比E_F更靠近价带，且偏离程度大于E_Fn。

之所以可以用准费米能级来描述，是因为：

能带范围内热跃迁非常频繁，极短时间内就能达到热平衡；
能带之间的热平衡由于跃迁稀少，达成平衡速度缓慢。

此外：电子准费米能级也叫导带准费米能级，空穴准费米能级也叫作价带准费米能级。

一些习题

掺杂、改变温度和光照激发均能改变半导体的电导率，它们之间有何区别？

答案
掺杂通过在纯净的半导体材料中加入少量的杂质原子来改变其电导率，通常是永久性的改变；

改变温度通过改变本征载流子浓度来改变电导率；

光照激发通过改变非平衡载流子浓度来改变半导体电导率。
平衡态，半导体中的平衡态载流子有没有复合？为什么着重讨论非平衡少数载流子？

答案
平衡态载流子也有复合。

因为非平衡多子远少于平衡多子浓度，非平衡少子远大于平衡少子浓度。

非平衡载流子的复合

非平衡载流子的寿命取决于载流子复合过程。复合方式有多种分类方法：

按复合过程微观机构：
- 直接复合：导带与价带之间直接跃迁
- 间接复合：通过禁带中的能级（复合中心）复合
按复合发生的位置：
- 体内复合
- 表面复合
按复合后载流子放出能量：
- 发射光子，发光现象称发光复合或辐射复合
- 发射声子，能量给予晶格
- 能量给予其他载流子，俄歇复合

这些都是载流子的复合过程！

直接复合

同一种半导体复合总是伴有产生：当复合率大于产生率：，为净复合—复合过程；当复合率小于产生率，为净产生—产生过程。

我们定义：

产生率G：单位时间单位体积中产生的电子空穴对
复合率R：单位时间单位体积中复合的电子空穴对
净复合率：U=R-G
- U>0：净复合过程
- U<0：净产生过程

我们设导带电子浓度为n，价带空穴浓度为p。显然，复合率与导带中电子浓度和价带中空穴浓度成正比，有：

$R= rnp$

其中r为复合几率，与温度有关，与n和p无关。

平衡态时，复合率等于产生率。

产生率与导带中空状态数（不被电子占据的状态）和价带中的电子数成正比。

因导带基本为空，价带基本为满，产生率可认为是常量。考察热平衡时的状态：

$G_0 = R_0 = rn_0p_0 = rn_i^2$

因此产生率G就是G₀。

对于直接净复合率：

$U_d = R-G = r(n_0+p_0)\Delta p + r(\Delta p)^2$

从而得到非平衡载流子寿命：

$\tau = \frac{\Delta p}{U_d} = \frac{1}{r \left[ (n_0 + p_0) + \Delta p \right]}$

对于小注入， $\tau \approx \dfrac{1}{r\left(n_0 + p_0\right)}$ ；对于大注入， $\tau = \dfrac{1}{r\Delta p}$ 。因此，小注入下的非平衡载流子寿命可认为是常数，大注入下的寿命与少子数量成反比。

间接复合

实验发现，半导体中杂质越多，晶格缺陷越多，寿命就越短，这说明杂质和缺陷有促进复合的作用。这些促进复合过程的杂质和缺陷称为复合中心。间接复合指的是非平衡载流子通过复合中心的复合。

设复合中心浓度为N_t，复合中心能级上的电子浓度为n_t，则对于1过程，可写出电子俘获率为 $r_nn(N_t-n_t)$ ；对于2过程，可写出电子发射率为 $\textcolor{blue}{s\_}n_t$ ，其中前一项系数为电子激发几率，和温度有关。

平衡态下，电子俘获率与电子发射率相同，即 $s\_n_t = t_nn_0(N_t-n_{t0})$ 。

综上，可写出：

电子俘获率 = $r_nn(N_t-n_t)$
电子发射率 = $r_nn_1n_t$
空穴俘获率 = $r_ppn_t$
空穴发射率 = $r_pp_1(N_t-n_t)$

复合中心上得到的电子数等于失去的电子数，因此对于上面的过程，有1+4=2+3。

因此，1-2=3-4，即非平衡载流子复合。可解得：

$n_t = \dfrac{nr_n+p_1r_p}{r_n(n+n_1)+r_p(p+p_1)}$

同理，可求得非平衡载流子净复合率U：

$U = \dfrac{N_tr_nr_p(np-n_i^2)}{r_n(n+n_1)+r_p(p+p_1)}$

不同半导体的复合中心浓度与少子寿命

对于高阻n型半导体：费米能级介于对称复合能级于本征费米能级之间。

$n_0$ 决定于 $E_c-E_F$
$p_0$ 决定于 $E_F-E_v$
$n_1$ 决定于 $E_c-E_t$
$p_1$ 决定于 $E_t-E_v$

问题

在一块p型半导体中，有一种复合-产生中心，小注入时被这些中心俘获的电子发射回导带的过程和它与空穴复合的过程有相同的几率。试求这种复合-产生中心的能级位置，并说明它能否成为有效的复合中心？

答案

公式

由题目可知：

$\begin{aligned} r_nn_1n_t &= r_ppn_t\\ r_nn_1 &= r_pp &\Rightarrow \\ n_1 &\approx p_0 &\Rightarrow \\ N_c\exp(-\frac{E_c-E_t}{k_0T}) &= N_v\exp(-\frac{E_F-E_v}{k_0T}) &\Rightarrow\\ E_i &= \frac{1}{2} \left( E_c + E_v -k_0T\ln(\frac{N_c}{N_v})\right)\\ E_t &= 2E_i-E_F \end{aligned}$

对于一般的p型半导体，室温下的费米能级远小于本征费米能级，因此不是有效的复合中心。

有效的复合中心应当在本征费米能级附近！

俘获截面

设复合中心为一定半径的球，截面积为σ。截面积越大，载流子被俘获的几率越大，可以用来衡量复合中心俘获载流子的能力，称其为俘获截面。分别令电子和空穴的俘获截面为σ-和σ+，可将复合率改写为：

$U = \dfrac{N_t\sigma_-\sigma_+(np-n_i^2)}{\sigma_-(n+n_1)+\sigma_+(p+p_1)}$

复合中心控制半导体非平衡载流子寿命

[{"url":"https://webp.esing.dev/img/image-20250210192054688_250210_1920_pIkb.png","alt":"金控制半导体非平衡载流子寿命"},{"url":"https://webp.esing.dev/img/image-20250210192109432_250210_1921_XSk7.png","alt":"金提供深能级有效复合中心"}]

表面复合

少数载流子寿命值在很大程度上受半导体样品的形状和表面状态的影响。经过吹砂处理或用金刚砂粗磨的样品，其寿命很短；而细磨后再经适当化学腐蚀的样品，寿命要长得多。实验还表明,对于同样的表面情况，样品越小，寿命越短。

表面复合是指在半导体表面发生的复合过程。表面处的杂质和表面特有的缺陷也在禁带形成复合中心能级，因而，就复合机构讲，表面复合仍然是间接复合。实际少子寿命是体内复合和表面复合的综合结果

因此，总的复合概率是体内复合概率与表面复合概率U_s之和。通常用表面复合速度来描写表面复合的快慢。

表面复合对器件的特性影响显著，如果表面复合速度大，注入的载流子在表面复合，影响器件的功能，所以表面的处理非常关键，需要稳定良好的表面；
物理测量中，使用金属探针，希望避免注入效应，设法增大表面复合，以获得准确的测量结果。

俄歇复合

载流子从高能级向低能级跃迁，发生电子—空穴复合时，把多余的能量传给另一个载流子，使这个载流子被激发到能量更高的能级上去，当它重新跃迁回低能级时，多余的能量常以声子形式放出，这种复合称为俄歇复合。显然这是一种非辐射复合^[1]。俄歇复合通常在窄禁带半导体和高温情况下起重要作用。

影响寿命的因素

影响非平衡少子寿命的因素有：

材料的完整性；
杂质原子引入的深能级（复合中心）；
表面状态；
高能粒子和射线的辐射，造成晶格缺陷，也影响少子寿命。

称τ为“半导体结构灵敏参数”。

载流子的扩散、漂移运动

扩散运动

当半导体内的载流子分布不均匀时，会出现载流子由高浓度处向低浓度处的扩散，由于扩散运动而形成的净电荷流动将形成电流，称为扩散电流。

对于均匀半导体，平衡状态下载流子分布处处均匀，所以载流子的扩散运动其实就是非平衡载流子扩散运动。对于电子，可以写出扩散方程式：

$S_n(x) = -D_n\dfrac{d\Delta n(x)}{dx}$

其中Sn为电子扩散流密度，Dn为电子扩散系数。通常把单位时间通过单位面积（垂直于1轴）的粒子数称为扩散流密度。

稳态扩散方程

对上式继续两边求导，可得单位时间在单位体积内积累的电子数：

$-\dfrac{dS_n(x)}{dx}= D_n\dfrac{d^2\Delta n(x)}{dx^2}$

在稳定情况下，它应等于单位时间单位体积内由于复合而消失的电子数，即 $\Delta n(x)/\tau$ ：

$D_n\dfrac{d^2\Delta n(x)}{dx^2} = \dfrac{\Delta n(x)}{\tau}$

易求得普遍解：

$\begin{aligned} \Delta n(x) &= A\exp(-\dfrac{x}{L_p})+B\exp(\dfrac{x}{L_p})\\ L_p &= \sqrt{D_n\tau} \end{aligned}$

样品足够厚

样品厚度为W

扩散电流密度

由扩散流密度可以写出扩散电流密度：

$\begin{aligned} (J_p)_{Diff} &= qS_p(x) = -qD_p\dfrac{d\Delta p(x)}{dx}\\ (J_n)_{Diff} &= -qS_n(x) = qD_n\dfrac{d\Delta n(x)}{dx} \end{aligned}$

探针注入

探针与半导体表面形成半球形接触面。

对比之前的样品足够厚的情况，可发现多了 $\frac{D_p}{r_0}$ 项，说明探针注入的扩散效率比平面时高。

平面时，浓度梯度完全依靠载流子进入半导体内的复合；
球对称时，径向运动本身就引起载流子的疏散，增加了扩散效率。当r0远小于Lp时，几何形状引起的扩散效果很显著，有助于提高注入效率。

电流密度方程与爱因斯坦关系

必考的

在非平衡载流子的产生和检验中提到，电子的漂移电流为：

$J =(n_0+\Delta n)q\mu_n\big| E \big | = qn\mu_n \big| E \big |$

若半导体中非平衡载流子浓度不均匀，同时又有外加电场的作用，那么除了非平衡载流子的扩散运动外，载流子还要做漂移运动。这时扩散电流和漂移电流叠加在一起构成半导体的总电流。

迁移率反应在电场作用下，载流子运动的难易程度；扩散系数反应存在浓度梯度时，载流子运动的难易程度。

因为达到平衡后，体内不存在宏观电流，电子、空穴总电流分别为零，则电流密度均为零，即扩散电流密度与漂移电流密度之和为零：

$n_0(x)\mu_n E = -D_n\dfrac{dn_0(x)}{dx}$

对于电场，即对电压求导；但在考虑电子的能量时，必须计入附加的静电势能：

在非简并情况下，电子的浓度应为：

$n_0(x) = N_c\exp(\dfrac{E_F-E_c+qV(x)}{k_0T})$

对其求导，并带入上式，即可得爱因斯坦关系：

$\dfrac{D_n}{\mu_n} = \dfrac{k_0T}{q}$

对于空穴亦然，只需修改扩散系数与迁移率即可。

爱因斯坦关系是非简并半导体载流子迁移率和扩散系数的关系！

连续性方程

必考的

让我们把上面学过的东西揉到一起！

当扩散、漂移、复合和产生同时存在时，少子遵循的运动方程是什么？我们如何求解？

举个例子：

方程建立

x=0截面上加垂直光照（随时间变化），薄层产生非平衡载流子
沿光照方向加电场，载流子有扩散和漂移运动
其它原因内部产生非平衡载流子，产生率为g
半导体内部非均匀掺杂

载流子随时间的变化率应当等于扩散、漂移、产生、复合导致的载流子变化的变化率。为方便计算，考虑空穴为载流子。

扩散

单位时间单位体积内，AB内积累的空穴数为：

$\lim_{Δx\to0}\frac{S_p(x)-S_p(x+Δx)}{Δx}=-\frac{\partial(S_p)_{Diff}}{∂x}=D_p\frac{∂^2p(x)}{∂x^2}$

漂移

参考上面的公式，对于漂移电流密度与漂移流密度，同样有 $(S_p)_{Drift} = \dfrac{1}{q}J_p(x)_{Drift}$

x处单位时间、单位体积中积累的空穴数：

$\begin{aligned} \lim_{Δx\to0}\frac{S_p(x)-S_p(x+Δx)}{Δx}=-\frac{\partial(S_p)_{Drift}}{∂x}&=-\dfrac{1}{q}\frac{∂J_p(x)_{Drift}}{∂x}\\ &=-\mu_{_p}|E|\frac{\partial p(x)}{\partial x}-\mu_{_p}\mathrm{p(x)}\frac{\partial|E|}{\partial x} \end{aligned}$

复合

参考上面的直接复合即可写出复合率：

$U= \dfrac{\Delta p(x)}{\tau}$

此为单位时间单位体积中复合消失的空穴变化率。

产生

考虑外界其它因素，将x处单位时间、单位体积空穴的产生率记作 $g_p$ 。

最后，我们将上面的各种变化率合并到一起，便得到了连续性方程：

$\textcolor{purple}{\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}}=\textcolor{red}{D_{p}\frac{\partial^{2}p(x,t)}{\partial x^{2}}}+\textcolor{green}{\left(-\mu_{p}\left|E\right|\frac{\partial p(x,t)}{\partial x}-\mu_{p}p(x,t)\frac{\partial\left|E\right|}{\partial x}\right)}-\textcolor{blue}{\frac{\Delta p(x,t)}{\tau_p}}+\textcolor{orange}{g_{p}}$

第一项为扩散项，第二、三项为漂移项，第四项为复合项，第五项为产生项。

注意各项前面的系数的正负！

产生为正，消失为负。因此，扩散、漂移均为正（漂移项算出的负号系数是因为空穴带正电），复合为负，产生为正。

简化模型

那么有同学要问了，老师老师，你的连续性方程确实很强，但还是太长了。有没有更加好记的办法呢？有的同学有的，这么短的公式当然不止一个了。

也好记。

稳态（光照一定）就是和时间无关，时间偏导数为0；

均匀产生非平衡载流子，也就是无浓度梯度，自然扩散项为0；

零电场自然电场为0，且对电场求偏导也为0；

只有表面注入，也就是产生率为0；

没有非平衡载流子复合，就是寿命无限长，因此分母为少子寿命即无穷大，自然复合项为0。

均匀产生非平衡载流子是指扩散项为0，均匀半导体是指初始浓度与位置无关。

实际应用

例1：临时光照无电场

光照在均匀n型半导体内，均匀产生非平衡载流子，无外加电场，求光照停止后，非平衡载流子随时间变化，设无其它非平衡载流子激发方式。

例2：持续光照无电场

一块n型均匀半导体，垂直于x方向的平面上加恒定光照，表面非平衡载流子浓度为 $(\Delta p)_0$ ，求内部非平衡载流子满足方程及非子分布规律。

例3：持续光照有电场

注意到通解形式为 $\Delta p = A\exp(\lambda_1 x)+B\exp(\lambda_2 x)$ ，以下进行分类讨论：

若样品足够厚，则在无穷厚的另一边，载流子浓度应当为0。带入，可得A=0，且第二项指数系数为负。

又由初态状态可知： $\Delta p(0) = (\Delta p)_0$ ，可解得： $\Delta p = (\Delta p)_0 \cdot \exp(\lambda_2 x)$ ，其中：

$\lambda_{2}=\frac{L_{p}(\left|E\right|)-\sqrt{L_{p}^{2}(\left|E\right|)+4L_{p}^{2}}}{2L_{p}^{2}}$

我们令 $L_p=\sqrt{D_p\tau}$ ，为扩散长度，又为平均扩散距离；再令 $L_{p}(\left|E\right|) = \mu_p\left|E\right| \tau$ ，为牵引长度，表示τ时间内的漂移距离。

显然 $\mu_p\left|E\right|$ 是平均漂移速度，因此牵引长度就是平均漂移速度与寿命之积。

再考察电场强度。

当电场很强使得 $L_{p}(\left|E\right|) \gg L_{p}$ 时，进行泰勒展开，可得：

$\lambda_2 \approx -\dfrac{1}{L_{p}(\left|E\right|)}$

显然，此时电场很强，漂移运动占优，忽略扩散。

当电场很弱使得 $L_{p}(\left|E\right|) \ll L_{p}$ 时，同上，可得：

$\lambda_2 \approx -\dfrac{1}{L_{p}}$

显然，此时电场很弱，扩散运动占优，非平衡载流子深入样品平均距离为扩散长度。

例4：部分持续光照无电场

对于条形均匀p型半导体，长度为L，左半部分用恒定光照，在内部均匀产生非平衡载流子，产生率为g_n，样品长度L远大于扩散长度L_n，求稳态电子浓度分布。

如何分析？左右部分分开写连续性方程，然后在边界处浓度相等！

[{"url":"https://webp.esing.dev/img/image-20250212153446958_250212_1534_M1M3.png","alt":"两部分各自的连续性方程"},{"url":"https://webp.esing.dev/img/image-20250212153558557_250212_1535_h5Pw.png","alt":"边界处相等，再换元去掉常数项"},{"url":"https://webp.esing.dev/img/image-20250212153609367_250212_1536_8L2b.png","alt":""}]