半导体物理复习笔记：第九篇

居然还要考pn结？！人麻了。

应当是第六章的内容，现加在后面。由于当时上课没学，自然也没有课件。使用复旦微蒋玉龙的半导体物理课件替代，并参考《半导体器件》的课件进行补充。

回顾

让我们想一想半导体物理复习笔记：第四篇和半导体物理复习笔记：第五篇中的内容：

结

~~以恋结缘~~

结是两种材料（至少有一种是半导体）之间的界面。不论是pn结还是异质结，都是结。金半接触也是一种结——肖特基结。

pn结的形成

在一块n型（或p型）半导体单晶上，用适当的工艺方法（如合金法、扩散法、生长法、离子注入法等）把p型（或n型）杂质掺入其中，使这块单晶的不同区域分别具有n型和p型的导电类型，在两者的交界面处就形成了pn结。常见的方法有合金法与扩散法。

合金法

把一小粒铝放在一块n型单晶硅片上，加热到一定的温度，形成铝硅的熔融体，然后降低温度，熔融体开始凝固，在n型硅片上形成一含有高浓度铝的p型硅薄层，它与n型硅衬底的交界面处即为pn结（这时称为铝硅合金结）。合金结也称为冶金结，其杂质分布突变，也称作单边突变结。对于上面的例子而言，是n型硅片上形成高浓度铝的p型硅薄层，记作p⁺n结。

扩散法

在n型单晶硅片上，通过氧化、光刻、扩散等工艺制得的pn结，其杂质分布由扩散过程及杂质补偿决定，杂质浓度在界面两端连续。为了简化计算，可认为杂质浓度随着距离而线性变化，因此称为线性缓变结。

突变结和线性缓变结是实际结杂质浓度分布的两个极端的近似。突变结可以给出更简单的结果。在大多数pn结分析中，除非特别声明，一般采用突变结近似。

还有一种结是pp+/nn+结，常用于形成欧姆接触。

pn结的静电特性

空间电荷区

空间电荷区（Space Charge Region, SCR）是pn结结面两侧存在一个带正负电荷的区间。空间电荷区的p型一侧为负电荷，n型一侧为正电荷。正负电荷形成的电场叫自建场，自建场的方向由n区指向p区。

均匀掺杂的半导体，在热平衡时，是电中性的。接触的瞬间，结面处有载流子浓度差，电子和空穴分别向结的相反方向扩散。电离杂质固定不动，载流子的扩散会在靠近结的区域留下未被抵消的电离杂质电荷，形成电场。

电场会引起载流子的漂移运动，其方向与各自扩散的方向相反，平衡时，漂移与扩散相抵，载流子的净移动为零，在结两侧形成一个稳定的、有一定宽度的空间电荷区。

热平衡时，空间电荷区以外的区域，在特性上与孤立的半导体是完全一样的，是电中性的，称为中性区。

还有一个SCR是可控硅整流器（Silicon Controlled Rectifier, SCR），又称晶闸管。这个SCR应该是最常听说的。

能带图

当两块半导体结合形成pn结时，按照费米能级的意义，电子将从费米能级高的n区流向费米能级低的p区，空穴的运动则刚好相反。因此，E_Fn会不断下移，E_Fp会不断上移，直至两个相等，此时pn结内有统一的费米能级。由此，我们可以画出平衡pn结的能带图：

pn结能带图的构造步骤：

画出平衡pn结的费米能级；
画出中性区的能带图；
能量在空间的变化是单调连续的。据此，把两边的能带连接起来。

由上面的公式可知：载流子浓度大的地方，费米能级随位置变化小，而载流子浓度小的地方，费米能级随位置变化就较大。

势垒与内建电势

平衡时流过pn结的净电流为零。从能带图上来看，平衡时电子从n区进入p区，或空穴从p区进入n区，必须越过一个能量势垒，势垒阻止了载流子的扩散。因此，空间电荷区也称为势垒区。

平衡pn结的势垒高度为 $qV_{bi}$ ，我们也可以记作 $qV_D$ ，其中 $V_D$ 称为接触电势差或内建电势差。由上图可知，势垒高度正好补偿了n区和p区的费米能级之差，因此：

$qV_D = E_{Fn} -E_{Fp}$

再由这张图所给出的准费米能级表达式，可知：

$V_D = \dfrac{kT}{q} \ln\left( \dfrac{N_AN_D}{n_i^2} \right)$

注意 $E_{cn}= -qV_D$ ！

电场和电位分布

半导体器件的静电特性由泊松方程描述。为了得到电场和电位与x的函数关系，需要知道载流子浓度与x的显示表达式。

$\frac{d^2V(x)}{dx^2}=-\frac{dE(x)}{dx}=-\frac{\rho(x)}{\varepsilon_0K_s}$

两个“近似”

突变的耗尽层近似：空间电荷区内载流子全部耗尽，即与净杂质浓度相比，空间电荷区内的载流子数目可以忽略不计，电离杂质提供空间电荷；空间电荷的分布在边界上突变过渡到零。

空间电荷区又称为耗尽区或耗尽层。

准中性区近似：假设外加偏压V_A全部降落在耗尽层上。

突变结

先考虑突变结。

注意电场强度是负值。观察图像可知：耗尽区主要在轻掺杂区的一边，重掺杂区一边几乎可忽略。

对于电势，我们对电场图像函数积分即可。与坐标轴面积就是电势。

在耗尽层内，电势与x的关系是二次函数。

pn结的静电特性是掺杂浓度和外加偏压的函数。

对于耗尽区宽度，如何计算？我们记住：耗尽区内对电荷密度积分后为0 ，参考这张图。

对于单边突变结，由上面可知：耗尽区主要在轻掺杂区的一边，重掺杂区一边几乎可忽略。因此，上面的耗尽区宽度又可以简化：

$W_{dep}=\sqrt{\frac{2K_{s}\varepsilon_{0}}{q}\frac{1}{N_{B}}\left(V_{bi}-V_{A}\right)}\qquad\frac{1}{N_{B}}=\frac{1}{N_{A}}+\frac{1}{N_{D}}$

单边突变结的耗尽区主要位于轻掺杂一侧。因此，以p⁺n为例，则N_B就是N_D。

线性缓变结

对于线性缓变结而言其实差不多，依旧是利用泊松方程进行求解。

非平衡pn结的能带图与少子分布

我们用p端和n端之间的电压差来判别是正向偏压还是反向偏压。

我们可以通过外加偏压来调节势垒高度，以控制多子流动。

外加偏压不同，准费米能级也会发生变化。外加偏压使电子和空穴不再有统一的费米能级。

由半导体物理复习笔记：第六篇中的连续性方程：

$\textcolor{purple}{\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}}=\textcolor{red}{D_{p}\frac{\partial^{2}p(x,t)}{\partial x^{2}}}+\textcolor{green}{\left(-\mu_{p}\left|E\right|\frac{\partial p(x,t)}{\partial x}-\mu_{p}p(x,t)\frac{\partial\left|E\right|}{\partial x}\right)}-\textcolor{blue}{\frac{\Delta p(x,t)}{\tau_p}}+\textcolor{orange}{g_{p}}$

注意到 $D_p\tau_p = L_p^2$ 。在稳定状态下，在外界产生率G=0时，理想pn结中性区的连续性方程可以简化为：

$\frac{\partial^{2}\Delta p_{n}}{\partial x^{2}}-\frac{\Delta p_{n}}{L_{p}^{2}}=0\quad x\geq x_{n}$

此方程称为少子的扩散方程，其解：

$\Delta n_p(x)=Ae^{-x/L_n}+Be^{x/L_n}$

考虑中性区边界条件（中性区边界的少子浓度为0）与耗尽层边界条件，可解得待定系数。

我们可绘制出非平衡少子在外加正偏压与副偏压时候的图像：

向上为正，正偏向上；向下为负，反偏向下！

问题

答案

二极管正偏。记住向上为正，正偏向上。
由上面的公式可知：

$V_A = k_0T\ln\left(\dfrac{p_n(x_n)}{p_{n0}} \right)$

pn结的电流电压特性

讨论电流电压特性（或J-V特性）时，我们基于以下假设：

小注入
两个“近似”
忽略势垒区中载流子的产生、复合
非简并

理想情况

我们可得到理想pn结J-V特性方程：

$\begin{aligned} J &= J_s\left[\exp\left(\frac{qV}{kT}\right)-1\right] \\ &= \left(\frac{qD_pn_i^2}{L_pN_D}+\frac{qD_nn_i^2}{L_nN_A}\right)\cdot\left[\exp\left(\frac{qV}{kT}\right)-1\right]\\ &= \left(\frac{qD_pp_{n0}}{L_p}+\frac{qD_nn_{p0}}{L_n}\right)\cdot\left[\exp\left(\frac{qV}{kT}\right)-1\right]\\ \end{aligned}$

我们将J_s称作反向饱和电流密度。理想pn结的电流由耗尽区边界处的少子浓度梯度决定。

我们回想一下半导体物理复习笔记：第四篇中提到的本征半导体载流子浓度：

n_i = \left[ \frac{2 (2 \pi k_0 T)^\textcolor{red}{3/2} \left( m_p^* m_n^* \right)^{3/4}}{\hbar ^3} \right] \exp \left( -\frac{E_g}{2 k_0 T} \right)

因此，可以得出理想pn结电流密度与温度的关系为 $J_s \propto T^{3+\frac{\gamma} 2} \exp\left(\dfrac{qV}{kT}\right)$ ，其中γ为扩散系数的温度相关幂指数。因此，理想pn结呈现出以下特性：

非理想因素

实际测量中，我们发现硅pn结的实验结果偏离较大：

实际pn结对理想pn结的偏离有：

在足够大的反向偏压下，空间电荷区内会有“其它过程”发生，导致载流子数目突然急剧增加，反向电流急剧增大；
在耗尽区中载流子会发生产生与复合；
正向大偏压下，发生大注入效应，此时不能认为外加偏压全部降落在耗尽层上，准中性区存在电场

“其他过程”——反向击穿

当pn结反向电压超过某个特定值后，反向电流会突然急速增大，这一现象叫pn结电击穿。发生电击穿时的反向偏压V_BR叫击穿电压。

pn结电击穿不是破坏性的，即电击穿是一个可逆过程。

耗尽区内的产生与复合

pn结处于热平衡状态时，势垒区内通过复合中心的载流子产生率等于复合率。

当pn结加反向偏压时，势垒区内的电场加强，所以在势垒区内，由于热激发的作用，通过复合中心产生的电子空穴对来不及复合就被强电场驱走了。也就是说，势垒区内通过复合中心的载流子产生率大于复合率，具有净产生率，从而形成另一部分反向电流，称为势垒区的产生电流。

在反向电流中势垒产生电流占主要地位。由于势垒区宽度随反向偏压的增加而变宽，所以势垒区产生电流是不饱和的，随反向偏压增加而缓慢增加。

在正向偏压下，从n区注入p区的电子和从p区注入n区的空穴，在势垒区内复合了一部分，构成了另一股正向电流，称为势垒区的复合电流。总的正向电流密度应为扩散电流密度及复合电流密度之和：

$J_{F}=J_{FD}+J_{\tau}=qn_{i}\left[\sqrt{\frac{D_{p}}{\tau_{p}}}\frac{n_{i}}{N_{D}}\exp\left(\frac{qV}{k_0T}\right)+\frac{X_{D}}{2\tau_{p}}\exp\left(\frac{qV}{2k_0T}\right)\right]$

对于单边突变结 $p_{n0} \gg n_{p0} \quad qV\gg k_0T$ ，扩散电流与 $\exp\left(\dfrac{qV}{k_0T}\right)$ 成正比，而复合电流与 $\exp\left(\dfrac{qV}{2k_0T}\right)$ 成正比。在较小的正向偏压下，复合电流占据主要地位，而在较大的正向偏压下，复合电流可忽略。

在扩散区，正偏下扩散电流占主导，反偏下产生电流占主导。

大注入

通常把正向偏压较大时，注入的非平衡少子浓度接近或超过该区多子浓度的情况，称为大注入情况。

大注入下空穴的扩散系数增大为原来的一倍。

而在非常大的正向偏压下，可采用线性分布近似：

综上，我们将特性曲线绘制如下：

必考，了解图像每一部分的定性关系，以及主导电流。

pn结的结电容

pn结有整流效应，但是它又包含着破坏整流特性的因素。这个因素就是pn结的电容。pn结电容包括势垒电容和扩散电容两部分。

pn结上外加电压的变化，引起了电子和空穴在势垒区的“存入”和“取出”，导致势垒区的空间电荷数量随外加电压而变化，这和一个电容器的充放电作用相似。这种pn结的电容效应称为势垒电容，记为C_T。~~CT阵营~~

外加电压变化时，n区扩散区内积累的非平衡空穴也增加，与它保持电中性的电子也相应增加。同样，p区扩散区内积累的非平衡电子和与保持电中性的空穴也要增加。这种由于扩散区的电荷数量随外加电压的变化。这种pn结的电容效应称为扩散电容，记为C_D。

势垒电容

突变结

由耗尽层近似可知：

$\begin{aligned} Q^+ &= qA_EN_Dx_n\\ Q^- &= qA_EN_Ax_p\\ Q &=Q^+ = Q^- \end{aligned}$

根据电容定义：

$C_T = \dfrac{dQ}{dV}\Bigg|_{V=V_A}=A_E\dfrac{\varepsilon_0K_s}{W_{dep}}$

观察上式可知，势垒电容在物理上等同于一个平行板电容器。

而因为突变结的轻重掺杂特性，以p⁺n为例，C_T可表示成：

$\begin{aligned} C_T &= A_E\left(\frac{q\varepsilon_0K_s}{2\left(V_{D}-V_A\right)}\frac{N_AN_D}{N_A+N_D}\right)^{1/2} \\ &\approx A_E \left( \frac{q\varepsilon_0K_sN_B}{2\left(V_{D}-V_A\right)} \right)^{1/2} \end{aligned}$

上式反向偏压时适用。但正向偏压时，一方面势垒高度降低使势垒区变窄，空间电荷数量减少，所以势垒电容比加反向偏压时大；另一方面，大量载流子流过势垒区，它们对势垒电容也有贡献。因此，正偏下的公式变为：

$C_T = 4C_T(0) = 4A_E\left(\frac{q\varepsilon_0K_s}{2V_{bi}}\frac{N_AN_D}{N_A+N_D}\right)^{1/2}$

影响势垒电容大小的因素：

掺杂浓度：杂质浓度越高, C_T越大。
偏置电压：正偏时C_T大, 反偏时C_T小
面积：势垒电容C_T与结的面积A_E成正比

线性缓变结

使用积分法得到电荷与电压的关系，再求导：

应用

我们可以利用其来测量结附近的杂质浓度和杂质浓度梯度。

考虑上式，我们可绘制出 $1/C_T^2-V$ 的曲线：

$\dfrac 1 {C_T^2} =\frac{2\left(V_{D}-V_A\right)}{A_E q\varepsilon_0K_sN_B}$

因此，由斜率可求出轻掺杂一侧的杂质浓度 $N_B$ ，而截距可求出接触电势差 $V_{D}$ 。

扩散电容

在扩散区中积累的少子是按指数形式分布的。注入到n区和p区的非平衡少子分布可从该图中得知。

大的正向偏压下扩散电容为主。

pn结的击穿

前面简单讲了一下，这里详细介绍。

击穿现象中，电流增大的基本原因不是由于迁移率的增大，而是由于载流子数目的增加。到目前为止，pn结击穿共有三种：雪崩击穿、齐纳击穿和热电击穿。这里主要讨论前两种。

雪崩击穿

当反向偏压很大时，势垒区中的电场很强，势垒区内的电子和空穴由于受到强电场的漂移作用，具有很大的动能。它们与势垒区内的晶格原子发生碰撞时，能把价键上的电子碰撞出来，成为导电电子，同时产生一个空穴。这本质上就是高能量的电子和空穴把满带中的电子激发到导带。一个载流子变成了三个载流子，这种繁殖载流子的方式称为载流子的倍增效应。