半导体物理复习笔记：第五篇

载流子的漂移运动与迁移率

导体的欧姆定律

$I = \dfrac{V}{R},\quad J = \dfrac{\Delta I}{\Delta s},\quad R = \rho \dfrac{l}{S}$

其中：电阻率单位为Ω·cm，电导率单位为s/cm，可求得欧姆定律的微分形式：

$I = \dfrac{V}{R} = \dfrac {El}{\rho \dfrac{l}{S}} = \dfrac{S}{\rho}E = S\sigma E \quad \Rightarrow \quad J = \sigma \big|E \big|$

漂移速度和迁移率

漂移运动是导体外加电压，内部电子受到电场力的作用，沿电场力反方向作定向运动形成电流的现象。漂移速度是定向运动的速度，平均漂移速度用 $\overline{v_d}$ 表示。因此：

$J = -nq \overline{v_d}$

此为电流密度，通常取正值。n代表单位体积内载流子浓度。

再带入微分欧姆定律：

$\overline{v_d} = \mu \big|E \big| \quad \Rightarrow \quad \mu = \dfrac{\overline{v_d}}{\mu \big|E \big|} = \dfrac{\sigma}{nq}$

称μ为迁移率，单位为cm²/V·s，代表单位场强下电子的平均漂移速度。

实验发现，电场不是很强的时候，半导体中的载流子在电场力作用下遵守欧姆定律。导带电子和价带空穴都可以参与导电。虽然在电场下的运动方向相反，但是贡献的电流方向相同。

$\sigma = nq\mu_n + pq\mu_p$

半导体能带与电场

能带偏斜怎么看？

哪边吸电子哪边能带就往下弯，哪边排斥电子（吸空穴）哪边就往上弯。

这是为什么？因为导带里是电子，导带底变化了，水平线上的能量一致，因此电子在同一能量下更容易被吸走（跑出去），因此跑出去的那端是能带下弯的地方。

载流子的散射

恩格斯指出：“运动是物质的存在方式。无论何时何地，都没有、也不可能有没有运动的物质。”~~考研马原并感~~

在一定温度下，半导体内部的大量载流子，即使没有电场作用，它们也不是静止不动的，而是永不停息地作着无规则的、杂乱无章的运动，称为热运动。同时，晶格上的原子也在不停地围绕格点作热振动。此外，电离的杂质也带有电荷，在半导体中做热振动。

载流子在半导体中运动时，便会不断地与热振动着的晶格原子或电离了的杂质离子发生作用，或者说发生碰撞，碰撞后载流子速度的大小及方向发生改变，用波的概念，就是说电子波在半导体中传播时遭到了散射。

如何定性解释欧姆定律？

在没有电场的时候，宏观上没有沿某一方向的运动，不构成电流；

在有电场的时候，电场力作用下，载流子沿电场方向运动，但由于散射，由电场力作用得到的附加速度散射到各个方向，使速度不能积累。

在上述两种作用下，载流子以一定的平均速度沿力的方向运动，具有恒定的平均漂移速度，形成电流，恒定电流。

半导体的主要散射机构

主要散射机构：

电离杂质散射
晶格振动散射
其它散射（等能谷散射，中性杂质散射，位错散射等）

散射作用的强弱用散射几率P描述，散射几率是单位时间内一个载流子受到散射的次数。

平均自由时间τ表达式为：

$\tau = \dfrac{1}{P}$

电离杂质散射

施主杂质电离后是一个带正电的离子，受主杂质电离后是一个带负电的离子。在电离施主或受主周围形成一个库仑势场，这一库仑势场局部地破坏了杂质附近的周期性势场，它就是使载流子散射的附加势场。如下，电离杂质散射类似于α粒子散射，可以看到运动轨迹为以电离杂质为焦点的双曲线。

散射理论指出，电离杂质的散射几率为：

$P_i \propto N_iT^{\textcolor{red}{-3/2}}$

其中N_i为电离杂质浓度，T为温度。温度升高，载流子热运动的平均速度大，可以很快掠过杂质离子，受库仑场的影响小，偏转小，不易受到散射，散射几率减小。

晶格振动的散射

晶体振动以格波形式存在，格波又分为声学波和光学波。

声学波（原胞中两个原子沿同一方向振动）代表原胞质心振动，频率低；
光学波（原胞中两个原子振动方向相反）代表原胞内原子间的相对振动，质心不动，频率高。

晶格振动的能量是量子化的，晶格振动的能量子称为声子。晶格振动对载流子的散射可看作是载流子与声子的碰撞，遵循准动量守恒和能量守恒定律。

对于硅、锗等元素半导体，其主要散射机制为声学波；光学波在离子性半导体中起重要作用。

声学波散射几率为：

$P_s \propto T^{\textcolor{red}{3/2}}$

光学波散射几率为：

$P_o \propto \dfrac{(\hbar v_l)^{3/2}}{(k_0T)^{1/2}}\cdot \overline{n_q}\cdot \dfrac{1}{f(\dfrac{\hbar v_l}{k_0T})}$

其中 $\overline{n_q} = \dfrac{1}{\exp(\dfrac{\hbar v_l}{k_0T})-1}$

由公式可知：光学波散射几率主要由平均声子数决定，且光学波在低温时不起作用。

低温下电离杂质散射占主导，高温下晶格振动散射（声学波和光学波）占主导。

其他因素引起的散射

等同能谷间散射：硅的导带具有极值能量相同的6个旋转椭球等能面（锗有4个），载流子在这些能谷中分布相同，称为等同的能谷。对这种多能谷半导体，电子可以从一个极值附近散射到另一个极值附近，这种散射称为谷间散射，可以吸收或发射声子。
中性杂质散射：低温下杂质没有充分电离，没有电离的杂质呈中性，这种中性杂质也对周期性势场有一定的微扰作用而引起散射。但它只有在杂质浓度很高的重掺杂半导体中，当温度很低，晶格振动散射和电离杂质散射都很微弱的情况下，才起主要的散射作用。
位错散射：位错线俘获电子，成为一串负电中心，周围形成带正电的圆柱形电荷区，内部存在电场，这个圆柱形空间电荷区就是引起载流子散射的附加势场。
载流子间散射：只在强简并时才显著。

迁移率与杂质浓度和温度的关系

平均自由时间和散射概率的关系

$\tau = \dfrac{1}{P}$

平均自由时间的数值等于散射概率的倒数。

电导率、迁移率和平均自由时间的关系

$\begin{aligned} \overline{v_x} &= -\dfrac{q}{m_n^*} \big | E \big| \tau \\ \mu &= \dfrac{\big | \overline{v_x}\big | }{\big | E \big|} \Rightarrow \\ \mu_n &= \dfrac{q\tau_n}{m_n^*} \Rightarrow \mu_n \propto \tau_n \end{aligned}$

这里的 $m_n^*$ 为电导有效质量，和之前的有效质量有些微不同。

迁移率与杂质和温度的关系

电离杂质散射： $\mu_i \propto N_i^{-1}T^{3/2}$
声学波散射： $\mu_s \propto T^{-3/2}$
光学波散射： $\mu_o \propto \left[ \exp(\dfrac{\hbar v_l}{k_0T})-1 \right]$

总的散射概率是各种散射机构的散射概率相加，又 $\tau = \dfrac{1}{P}$ ，则化简，可得：

$\dfrac{1}{\mu} = \dfrac{1}{\mu_1}+ \dfrac{1}{\mu_2} + \dfrac{1}{\mu_3} + \cdots$

对掺杂的锗、硅等原子半导体，主要的散射机构是声学波散射和电离杂质散射：

$\begin{aligned} \mu &=\dfrac{q}{m^*} \dfrac{1}{P} \\ &= \dfrac{q}{m^*}\dfrac{1}{AT^{3/2} + \dfrac{BN_i}{T^{3/2}}} \end{aligned}$

对于III-V族化合物半导体，如砷化镓，光学波散射也需要考虑。

对于补偿半导体^[1]，载流子浓度决定于施主和受主浓度之差，但是迁移率决定于两种杂质浓度之和。

少子迁移率和多子迁移率

杂质浓度较低时，多子和少子电子迁移率趋近于相同的值。

随着杂质浓度增加，无论是作为多子还是少子，电子和空穴的迁移率都减小。

给定杂质浓度，电子与空穴的少子迁移率均大于相同杂质浓度下的多子迁移率。

相同杂质浓度下，少子与多子迁移率的差别随着杂质浓度的增大而增大。

电阻率与杂质浓度和温度的关系

电阻率与杂质浓度的关系（杂质半导体）

下图是硅在300K时电阻率与杂质浓度关系，适用于非补偿或轻补偿。

轻掺杂时，室温下杂质全部电离，迁移率随杂质浓度变化不大，所以杂质浓度升高，电阻率下降；

重掺杂时，曲线严重偏离直线，是因为杂质在室温下不能全部电离，且迁移率随杂质浓度升高而下降。

电阻率随温度的变化

本征半导体

对于本征半导体：

$\rho = \dfrac{1}{qn_i(\mu_n+\mu_p)}$

随着温度升高，本征载流子浓度升高很快，但迁移率只是稍微下降，变化不大，因此随着温度升高，本征半导体的电阻率减小，其具有负温度系数。

杂质半导体

要会看图！

迁移率在 $T=\sqrt[3]{\dfrac{BN_i}{A}}$ 处取得最大值，可知，电离杂质浓度越高的半导体，最大迁移率对应的温度也越高。

强电场下效应与热载流子

欧姆定律的偏离

电场不太强时，电流密度与电场强度关系服从欧姆定律。对给定的材料，电导率是常数，与电场无关，这说明平均漂移速度与电场强度成正比，迁移率大小与电场无关。但电场极大的时候，电流密度不再与电场强度成正比，这表明电导率不再是常数，随电场而变化。

无外加电场时，载流子和晶格振动散射，吸收声子和发射声子，与晶格交换动量和能量，交换净能量为0，载流子平均能量与晶格相同，处于热平衡态；
有较小电场时，载流子从电场中获得能量，以发射声子的形式将能量传给晶格，载流子发射声子>吸收声子；
有强电场时，载流子从电场中获得的能量很多，载流子的平均能量比热平衡状态时的大，因而载流子和晶格系统不再处于热平衡状态。引进载流子的有效温度T_e来描写与晶格系统不处于热平衡状态的载流子，并称这种状态的载流子为热载流子。

热载流子与晶格散射时，由于热载流子能量高，速度大于热平衡状态下的速度。在平均自由程保持不变的情况下，平均自由时间减小，因而迁移率降低。

$\overline{v_d} = \mu \big|E \big| = \dfrac{4 q l_n}{3 \sqrt{2 \pi m_n^* k_0 T_e}} \big|E \big|$

多能谷散射与耿氏效应

对于n型砷化镓，在两端电极上加以电压，当半导体内电场超过3x10³V/cm时，半导体内的电流便以很高的频率振荡，这个效应称为耿氏效应。后来发表的微分负阻理论解决了耿氏效应的理论问题。

GaAs能带结构及多能谷散射

半导体物理复习笔记：第二篇

砷化镓的导带极小值位于布里渊区中心，为直接间隙半导体，导带最低能谷1和价带极值均位于布里渊区中心k=0处。在[111]方向布里渊区边界L处还有一个极值约高出0.29eV的能谷2，称为卫星谷。当温度不太高、电场不太强时，导带电子大部分位于能谷1。能谷2的曲率比能谷1小，所以，能谷2的电子有效质量较大。两能谷状态密度之比约为94，因为两能谷的有效质量不同，电子迁移率也不同。

导带图像曲率越大，空穴越轻！

微分电导为：

$\dfrac{dJ}{d\big|E \big|} = \dfrac{d(nq \overline{v_d})}{d\big|E \big|} = nq\dfrac{d\overline{v_d}}{d\big|E \big|}$

随着电场强度的增加，平均漂移速度减小，有负微分电导。

图中的E_T为阈值电场，即负微分电导开始的电场。

高场畴区及耿氏振荡

对于砷化镓，因为局部掺杂不均匀，会形成一个局部高阻区A，A区电场大，由于处于负微分电导区，A外平均漂移速度大，A内平均漂移速度小。

当在器件两端施加电压时，高阻区内电场强度比区外强，如外加电压使场强超过阈值，位于负微分电导区，则部分电子就会转移到能谷2中去,形成两类平均漂移速度不相同的电子。

在高阻区面向阳极的一侧，区外电子的平均漂移速度比区内的大，这里便缺少电子，称为电子的耗尽层；在高阻区面向阴极的一侧，也是区外电子的平均漂移速度比区内的大，因而形成电子的积累层。

这样，由于器件内局部掺杂不均匀，外加电压使器件内场强处于负微分电导区时，就形成了带负电的电子积累层和带正电的由电离施主构成的电子耗尽层，组成空间电荷偶极层，称为偶极畴，简称畴。偶极畴形成后，畴内正负电荷产生一个与外加电场同方向的电场，使畴内电场增强，相应地畴外电场便有所降低，因此,这种偶极畴常称为高场畴。